Репараметризационно-инвариантный гамильтоновый формализм в ОТО и динамика собственного времени

• Автор: Смиричинский, Валерий Иванович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Дубна
• Количество страниц: 93 с.

3.5 Пыльная Вселенная
3.6 Локальная теория поля
3.7 Собственное время в ОТО и КЕТ
4 Теория возмущения
4.1 Нулевое приближение
4.2 Линеаризированное приближение .
5 Осцилляторное приближение
5.1 Обоснование
5.2 Аналитически-решаемый предел и численное моделирование
5.3 Рождение Вселенной и фазовые корреляции для гравитонов
6 Заключение
А Приложение: Конформные преобразования АДМ параметров
В Приложение: Фермионы в КЕТ

1 Введение
Наиболее общепринятая на сегодняшний день гамильтонова формулировка Общей Теории Относительности основана на АДМ параметризации 4-х метрики пространственно-временного многообразия [1]. Изначально такая формулировка развивалась для целей квантования гравитационного поля, для чего проводились интенсивные исследования с целью выявления геометрического и динамического содержания АДМ параметров и, так называемого, физического сектора переменных соответствующих гравитонным степеням свободы [2, 3, 4, 5], также велись исследования посвященные анализу проблемы начальных данных [2, б, 7, 8, 9], проблеме энергии и поверхностных членов [10, 11, 12].
Отметим несколько все еще не решенных проблем которые, по нашему мнению, затрудняют корректное квантование гравитационного поля.
Первая из них - это проблема гамильтониана. Дело в том, что ОТО, являясь сингулярной теорией с первичными и вторичными связями первого рода, имеет гамильтониан пропорциональный связям тг равен нулю на уравнениях движения. Этот факт затрудняет однозначное определение генератора эволюции для функции состояния в квантовой теории и интерпретацию энергии гравитационного поля. Прямое же квантование связей, дающее, например, уравнение Уилера-Де-Витта, приводит к ненормируемой волновой функции состояния. По-видимому такое положение будет иметь место для всех общековариантных метрических формулировок гравитации.
Вторая проблема - это самосогласованность теории возмущения. Как было отмеченно еще К. Кухаржом [13], шифт-вектор выпадает из уравнений связи при взятии дивергенции от поперечной связи, а лэпс-функция вообще не входит в линеаризованные уравнения связи. В этом и состоит несамосогласованность, что, в свою очередь, сильно затрудняет формулировку пертурбативной квантовой теории. Действительно, метрическое представление функционала состояний основано на предположении, что компоненты метрического тензора дгк могут быть взяты как независимые переменные. В классической

теории это предположение было сформулированно как ’’thin sand-vich theorem”, согласно которой, начальные значения дц. вместе с производными gikfi однозначно (при подходящих граничных условиях) определяют метрику пространства-времени. Предполагают, что задавая на начальной гиперповерхности дц.^ и дц-, и используя четыре уравнения связи, можно определить четыре неизвестные -лэпс-функцию и шифт-вектор, то есть определить полностью 4-х метрику пространства времени. В линейном приближении эта теорема нарушается и необходимо как-то фиксировать лэпс-функцию и шифт-вектор. Отсюда можно заключить, что в линейном приближении недостаточно информации чтобы определить например лэпс-функцию по заданным gikfi и дц.. Очевидно, что не имея хорошо определенной теории возмущения на классическом уровне, вряд ли стоит рассчитывать на успех в пертурбативной квантовой теории гравитации.
Следующей проблемой является проблема редукции. Под ней понимается отделение динамического содержания теории на поверхности связей от ” лишних” переменных, ответственных за калибровочный произвол. Безусловно, эта проблема связана с предыдущими двумя. Существует два способа решения этой проблемы. Первый состоит в наложении дополнительных калибровочных условий, исключающих лишние переменные. Второй способ состоит в разрешении связей. К достоинствам первого способа следует отнести удобство и простоту, так как обычно выбираются такие условия, которые существенно облегчают вычисления, а недостатком является достаточно узкая применимость данной конкретной калибровки и отсутствие уверенности в том, что данная калибровка не испор--тит ’’истинной” динамики. Способ же разрешения связей, если бы его удалось провести полностью, был бы идеальным для исследователя, и это означало бы, что удалось найти истинную динамику на связях в общем случае. Но в силу сложной структуры связей, это трудно реализовать технически. Возможно, что правильная стратегия исследования проблемы редукции состоит в комбинации двух этих способов.
Конечно же, на пути построения квантовой гравитации суще-

2.2 Проблема Коши для уравнений Эйнштейна
В этой подсекции мы будем следовать оригинальным работам Лих-неровича [6], Йорка [7, 8], Мурчадха и Йорка [9], Дезера [2]
2.2.1 Конформное и поперечное бесследовое разложение
В предыдущей подсекции мы видели, что пространственная метрика йу, внешняя кривизна и поля материи удовлетворяют гамильтоновой связи (2.89)
3Д + К2 - К[Кк - к2Та/Эиа1уР = 0 ; (2.98)
и импульсной связи (2.89)
ЕДК — VіКІ + кТкаР0 = 0 ; (2.99)
на всех пространственноподобных гиперповерхностях Е.
Рассмотрим гравитационное поле в вакууме (в отсутствие полей материи). Поскольку связи (2.89), (2.90) являются связями первого рода, т.е. полные производные по времени от этих связей на уравнениях эволюции равны комбинации этих же связей (слабый нуль), то нам достаточно построить решение для йр- и Ку удовлетворяющие связям на начальной пространственноподобной гиперповерхости, а эволюционные уравнения обеспечат выполнение связей и на последующих гиперповерхностях.
Итак уравнения (2.99) в отсутствии материи перепишем в виде
VіА) = 0 , (2.100)

Ар- = Кц - йуА (2.101)
Рассмотрим два способа разложения 3-х тензора Ау определенного на трехмерном многообразии Римана.
1) ПОПЕРЕЧНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ [51, 52, 2, 3]. следуя [4] определяется следующим образом
Агі = А? + А;7, (2.102)