Точно решаемые решеточные модели в теории неравновесных процессов

• Автор: Погосян, Вааги Суренович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Дубна
• Количество страниц: 86 с. : ил.

моим, родителям посвящается
Оглавление
Введение
1 Асимметричный процесс с простым исключением
1.1 Кинетическое уравнение
1.2 Решение с помощью тригонометрического анзаца Бете
1.3 Описание комбинаторного анзаца па простом примере
1.4 ТАБЕР с ВБП и с одинаковыми вероятностями скачков частиц
1.5 ТАБЕР с ВБи и с разными вероятностями скачков частиц на кольце
1.6 Производящая функция переходов и нестационарная скорость
1.7 Модель Поттса и вычисление стационарной скорости
2 Абелева модель самоорганизованной критичности
2.1 Определение модели песка
2.2 Теорема Кирхгофа
2.3 Древесное представление рекуррентных конфигураций
2.4 Вычисление вероятностей высот
2.5 Корреляционные функции
3 Решеточная модель димеров
3.1 Определение модели и представление через покрывающие деревья
3.2 Вычисление миноров матриц Теплица
3.3 Конечные дефектные линии на решетке
3.4 Вероятность свободного шага в данном направлении
3.5 Вероятности локализации вакансии
Заключение
Литература

Введение
Точно решаемые решеточные модели играют большую роль в равновесной и неравновесной статистической механике. Они описываются относительно простыми динамическими законами и в то же время объясняют нетривиальные критические явления. Исследование таких моделей помогает на простых примерах понять механизм критического поведения реальных систем.
Важнейшей точно решаемой решеточной моделью является двумерная модель Изинга [3-6]. Она демонстрирует, как в системе с короткодействующим взаимодействием между частицами может возникнуть фазовый переход второго рода, причем основные свойства этого явления принципиально отличаются от тех, которые получаются в приближении среднего ноля. После появления и полного изучения модели Изинга возникли другие решеточные модели (вершинные модели) и их различные обобщения. Таким обобщением является модель Поттса с Q состояниями спина [32,33]. Она также играет важную роль в статистической механике. Её особенностью является то, что в зависимости от параметра Q меняется род фазового перехода. На двумерной решетке модель Поттса удалось решить точно только при некоторых значениях параметров. Как было показано Фортуином и Кастелей-ном [31], эта модель объединяет большой класс задач теории графов, возникающих в разных областях теоретической физики, теории вероятностей и комбинаторики. В первой главе данной диссертации модель Поттса будет применена для вычисления среднего потока частиц в стационарном режиме процесса с полностью асимметричным исключением (Totally Asymmetric Simple Exclusion Process, TASEP) [44]. Модель Поттса имеет также тесную связь с теорией самоорганизованной критичности, которая будет обсуждаться во второй главе.
В последнее время возник интерес к изучению точно решаемых неравновес-

.Х| -Л-2 *3
Рис. 1.2: Пример пассивных и активных пересечений четырех траекторий.
Вероятности скачков гд, г>2, Щ, Щ приписанные разным частям траекторий, показано на рис. 1.2. Итак, первая траектория во время первого столкновения будет иметь вес VI, затем г>2, а во время последнего столкновения - Уз. Вторая траектория х° —> жз имеет одно пассивное и два активных пересечений, т.е. суммарная активность равна +1. Пассивное пересечение зависит только от У, которое компенсируется весом первого активного пересечения первой траектории, которая тоже зависит только от гд. Вес второго активного пересечения зависит от у2. Две остальные траектории, начинающиеся с точек I® и г®, имеют по два пассивных пересечений каждое, зависящих соответственно от VI, и у2, г>з. Можно заключить, что вес /г каждой траектории зависит от ее номера и ее активности: г-ая траектория с активностью т (т > 0),
ЗаВИСИТ ОТ У,,У(+1, . ,Уг+т-.1. ЕСЛИ ТП < 0, ТО Она ЗаВИСИТ ОТ У{-2 , У1+т-
Окончательно запишем выражения для весов в операторной форме
Д,7П (

т> 0, (1.97)

х, - X,
(1.99)
Аналитически для Дт (х — х°,Т) имеем