Классификация эллиптических γ-матриц, уравнений Книжника-Замолодчикова и соответствующих систем типа Калоджеро-Мозера

• Автор: Смирнов, Андрей Валерьевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 99 с.

Оглавление
1 Введение
1.1 Содержание диссертации
1.2 Результаты выносимые на защиту диссертации
2 Голоморфные расслоения над римановыми поверхностями
2.1 Глобальное описание голоморфных расслоений
2.2 Локальное описание голоморфных расслоений и модификаций
2.3 Модификация расслоений
2.4 Голоморфные расслоения над эллиптическими кривыми
3 Обобщённый базис в Алгебрах Ли
3.1 Построение обобщённого базиса
3.2 Форма Киллинга в СА-базисе
3.3 Коммутационные соотношения в СА-базисе
3.4 Построение интегрируемых систем
4 Некоторые свойства полученных г-матриц
4.1 Классическое уравнение Янга-Бакстера
4.2 Уравнения Книжпика-Замолодчикова для С - расслоений над Ет{г1,..., гп}
5 Пример ЭЦАТ, С)-система корней А^_1
5.1 Корни и веса
5.2 Матрицы переклейки
5.3 Базисы
5.4 Операторы Лакса и Гамильтонианы
6 Тригонометрический и рациональный пределы
6.1 Основной пример: Ранг
6.2 Формулы для случая произвольного ранга
6.3 Квантовые Д-матрицы
7 Приложения
7.1 Приложение А. Простые группы Ли (48, 64]
7.2 Приложение В. Эллиптические функции

Глава 1 Введение
Большинство моделей классической механики не могут быть решено точно. Редкими исключительными случаями моделей допускающих точные решения являются, так называемые интегрируемые системы (или, просто, точно решаемые модели).
До середины 60-годов прошлого века было известно лишь небольшое количество интегрируемых систем с фазовым пространством размерности больше двух (см. введение в [1]). Интегрируемость отвечает наличию достаточно большой "скрытой"группы симметрий системы, что приводит к существованию нужного количества независимых интегралов движения. Несколько позднее были открыты примеры интегрируемых систем многих тел в одномерном пространстве, описывающие движение п частиц, взаимодействующих с некоторыми выделенными потенциалами [2].
В работе А. Переломова и М. Олыианецкого [3] было показано, что в основе интегрируемости известных на тот момент систем многих тел лежат скрытые симметрии этих моделей, образующие алгебры Ли. Данное замечание позволило авторам построить новые примеры интегрируемых систем, обобщающих эти системы на случай произвольной системы корней [4, 5]. Метод построения интегрируемых систем, предложенный в данных работах, состоял в редукции свободной динамики на некотором фазовом пространстве большой размерности к фазовому пространству меньшей размерности, динамика на котором становилась нетривиальной. При этом изначально явная симметрия системы становилась "скрытой"на редуцированном пространстве.
Бурное развитие теории интегрируемых систем началось с открытием метода обратной задачи рассеяния в работе К.Гарднера, Дж. Грина, М. Крускала и Р. Миуры [6], преобразованного позднее к алгебраическому

виду в работе П. Лакса [7]. Основная идея данного метода состоит в переписывании уравнений движения системы в следующем виде:
|ь = [тм]
где Ь и М некоторые конечномерные матрицы (пара Лакса), зависящие от динамических переменных системы. Решение данного уравнения, очевидно, имеет вид преобразования сопряжения:
Щ = д№(0 )д~Ь), М = ^д
Таким образом, спектр матрицы Ь(Ь) не зависит от времени, и характеристические полиномы оператора Лакса:
Нк = ЬгЬк
могут быть выбраны в качестве базиса интегралов движения.
Следующим важным шагом в развитии теории стало обобщение уравнений Лакса на случай бесконечномерных алгебр петель, появившееся впервые в работах [8], [9] . В этом случае матрицы пары Лакса начинают зависеть от дополнительного "спектрального"параметра г:
| едщвд.мм]
Подобная запись уравнений движения оказалась исключительно полезной и позволила подключить к исследованию теории методы алгебраической геометрии. Было показано, что уравнения движения системы, записанной в таком виде, определяют линейный поток на торе (Абелевом комплексном многообразии), являющимся якобианом римановой поверхности, заданной в СР2 характеристическим уравнением:
ёе^А - ОД)) = О (1.0.1)
Данное обстоятельство позволяет взглянуть на интегрируемые системы с совершенно другой точки зрения. Последнее уравнение позволяет трактовать оператор Лакса как мероморфную функцию на римановой поверхности (1.0.1), принимающей значение в матрицах, или, более точно, как сечение голоморфного векторного расслоения над римановой поверхностью.

Связь характеристического класса со степенью векторного расслоения
Из длинной точной последовательности (2.4.5) и факта Н2(£, О*) = 0 следует что произвольное Са<г(С)-расслоение (даже топологически нетривиальное (,(Gad(0) ф 0) может быть поднято до С(5((9)-расслоения.
Рассмотрим некоторое точное представление И или сумму SpinL(&SpmR в случае D2k- Тогда из (2.4.3) мы имеем вложение 2(G) в автоморфизмы V:
фу : 2(G) (С*)г = Ante(V)
(2.4.8)
В частном случае, когда V является фундаментальным представлением, центр действует на V умножением на (2.4.7).
Пусть £cq- главное CG(0)-pacanoeHHe. Обозначим E(V) — £ ®CG V (или E(SpinL,R)) векторное расслоение индуцированное представлением V
(SpinL'R для Deven).
Предложение 2.4.3 Рассмотрим присоединённое представление Ead = E(Ad) с характеристическим, классом £(Ead) ■ Образ ((Ead) при действии фу (2.4-8) имеет вид
а (г(Р ехр(—2яг deg (P(P))/dimP) ,
v ad)) | exp(-27rideg(E(Spin^lcR))/22k~1) .
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму 1
1 > 2v(Ge) Zv(Os)

-> (0*ъУ > CG(Gs) > СаЛ(Оф) >
1 > 2(G) > G(Os) > Gad(Gs) >

и соответствующую диаграмму коцепей Чеха. Рассмотрим 1-коцикл ф со значениями в Саё(0^). Его прообраз является коциклом со значениями в