Численное моделирование деформирования и разрушения анизотропных сред : на примере озерного льда

• Автор: Мельникова, Наталья Александровна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 165 с. : ил.

ВВЕДЕНИЕ
1 НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЕФОМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
1.1 Модели, используемые при описании деформирования конденсированных сред на разных масштабных уровнях
1.2 Полуаналитические и численные методы вычисления упругих волновых полей в анизотропных средах
1.3 Некоторые подходы к описанию разрушения твердых тел
2 ДЕФОРМИРОВАНИЕ И РАЗРУШЕНИЕ АНИЗОТРОПНЫХ
СРЕД: ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И РАЗНОСТНАЯ СХЕМА
2.1 Некоторые сведения из кристаллографии
2.2 Определяющие соотношения гипоупругой модели. Уравнение Кристоффеля
2.3 Конечно-разностная схема Уилкинса и ее линеаризация
2.4 Численное описание разрушения
2.5. Общее замечание о критериях разрушения
2.6 Выводы
3 ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ УПРУГИХ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ И РАЗРУШЕНИЯ В АНИЗОТРОПНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
3.1 Расчет волнового поля от действия сосредоточенного источника в изотропной и анизотропной средах (задача Лэмба)
3.2 Задача о падении плоской волны на анизотропную среду и среду с анизотропным включением
3.3 Расчет распространения трещины I типа
3.4 Выводы
4 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД (НА ПРИМЕРЕ ОЗЕРНОГО ЛЬДА)
4.1 Лед как анизотропная среда
4.2 Об обработке растровых изображений
4.3 Упругое деформирование пресного льда
4.4 О возможном механизме разрушения озерного льда
4.5 Выводы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Объектом исследования являются анизотропные среды, состоящие из гексагональных кристаллов произвольной ориентации, и особенности численного моделирования динамических процессов деформирования в этих средах вплоть до разрушения.
Актуальность темы
При численном решении динамических задач механическое поведение анизотропных сред часто моделируется макроскопически однородной средой с эффективными свойствами. При этом считается, что среда изотропна, а ее прочностные свойства в точке характеризуются некоторой величиной. Однако ряд проблем прочности (например, таких, как прочность структурнонеоднородных материалов) решается только в масштабах нескольких зерен, блоков, кристаллов. На таком масштабном уровне анизотропия упругих свойств отдельного структурного элемента существенно влияет на процессы деформирования, и в краевой задаче для неоднородной среды необходимо учитывать ориентацию каждого элемента.
Задачи деформирования и разрушения анизотропных сред являются, бесспорно, существенно трехмерными. Численная реализация таких задач сопряжена с созданием довольно сложных, трудоемких алгоритмов, требующих больших машинных ресурсов. Поэтому в диссертационной работе сделаны следующие упрощения: структура рассматриваемого анизотропного материала и характер прикладываемых нагрузок выбираются так, что материал оказывается в условиях плоской деформации. Такие предположения позволяют решать задачи деформирования и разрушения анизотропных сред в двумерной постановке. Для сред с гексагональной симметрией это возможно в силу их трансвер-сальной изотропии по упругим свойствам.
Гексагональной симметрией обладают ряд металлов и их сплавы, однородные изотропные тела с плоскопараллельной системой трещин, многие природные материалы, в том числе широко распространенный пресный лед.

Понимание поведения льда важно при рассмотрении таких проблем, как использование ледяного покрова акваторий, строительство изо льда, защита водозаборных и гидротехнических сооружений от воздействия льда, добыча полезных ископаемых в районах вечной мерзлоты. Работ, посвященных деформированию и разрушению (с образованием отдельных трещин) анизотропных сред на мезоуровне в настоящее время имеется лишь небольшое количество, как экспериментальных, так и теоретических.
В диссертационной работе получен численный алгоритм для решения задачи об упругом деформировании и упруго-хрупком разрушении мезообъема анизотропной среды с образованием и распространением отдельных трещин в двумерной постановке в условиях плоской деформации. Как частный случай рассмотрен поликристаллический пресный лед.
До сих пор численное исследование разрушения пресного льда на мезоуровне (масштаб зерен, кристаллов) с образованием отдельных трещин не проводилось. Таким образом, теоретическое изучение деформирования и разрушения анизотропных кристаллических сред с гексагональной симметрией представляется актуальным.
Целью диссертационной работы является изучение особенностей процессов деформирования мезообъема анизотропной среды, состоящего из нескольких разноориентированных гексагональных кристаллов, вплоть до разрушения.
Для достижения сформулированной цели были поставлены и решены следующие задачи:
1. Разработать методика численного расчета поведения анизотропных сред при деформировании вплоть до разрушения с описанием образования и роста трещин на основе метода раздвоения точек сетки.
2. Создать алгоритм явного описания неоднородной структуры с учетом разной ориентации кристаллов на мезоуровне. Для этого разработать специальный алгоритм обработки растровых изображений.

Здесь (Ту - тензор напряжений, хк— декартовы координаты {к = 1,2), р — ПЛОТНОСТЬ, И/ - компоненты вектора смещения и, и — вектор скорости смещений, £и - тензор деформаций, Сщ - тензор модулей упругости. Точки над величинами означают производную по времени і .
Система (2.2.1) - (2.2.4) является замкнутой.
Закон Гука (2.2.3), широко используемый в эластодинамике, связывает напряжения с деформациями раз и навсегда. В последние же десятилетия используется закон Гука в виде мгновенной связи между напряжениями и деформациями, т.е. в виде связи между скоростями напряжений и скоростями деформаций. Вся система уравнений тогда становится однотипной, описывающей посредством дифференциальных уравнений в частных производных мгновенное поведение частиц среды, а сама среда называется гипоупругой.
В работе [44] даётся следующее определение гипоупругой среды: среда является гипоупругой, если в каждой точке и в любой момент времени тензор скоростей изменений напряжений есть линейная функция тензора скоростей деформаций, причём эта функция может, в свою очередь, зависеть от тензора напряжений как от параметра. Ниже всюду мы будем рассматривать простейший случай гипоупругости - когда тензор упругих модулей от напряжений не зависит.
Вводя понятие скорости напряжений, то есть производной по времени от компонент тензора напряжений, нужно учитывать тот факт, что изменение напряжений должно быть вызвано некоторым изменением деформации (напряжения в упругом теле — это упругая реакция на деформирование). При деформировании среды не все изменения напряжений будут упругими реакциями. Так, если среда вращается как абсолютно твердое тело, то полные производные по времени от компонент некоторого тензора будут меняться в неподвижной системе отсчета, в то время как в самой среде компоненты не меняются. В этом случае вычисленный с помощью полных производных тензор скоростей напряжений не является объективным тензором.