Методы качественного исследования гамильтоновых систем, близких к интегрируемым

• Автор: Трещев, Дмитрий Валерьевич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1992
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 209 с.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
ГЛАВА I. Об интегрируемости гамильтоновых систем с торическим пространством положений
§ I. Постановка задачи. Критерий интегрируемости
§ 2. Вековое множество и его структура
§ 3. Доказательство теорем о неинтегрируемости
§ 4. Некоторые обобщения
ГЛАВА II. Полиномиальные интегралы гамильтоновых систем с
экспоненциальным взаимодействием
§ I. Строение интегрируемых систем
§ 2. Необходимые условия интегрируемости,
§ 3. Теория возмущений
ГЛАВА III. Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды
§ I, Числа Ковалевской
§ 2. Обобщенные цепочки Тоды
§ 3. Основные результаты
§ 4. Доказательство теоремы 3.1
§ 5. Однозначные решения и полиномиальные интегралы. 102 ГЛАВА IV. О сохранении инвариантных многообразий гамильтоновых систем при возмущении
§ I. Теорема о продолжаемости
§ 2, Доказательство теоремы о продолжаемости,
§ 3, Некоторые приложения
ГЛАВА V. Механизм разрушения резонансных торов гамильтоновых систем
§ I. Резонансные торы и теория KAM

§ 2. Гиперболические торы и первые интегралы
§ 3. Существование гиперболических торов в некоторых конкретных системах
§ 4. Гиперболические торы и теория возмущении
§ 5. Доказательство теоремы 5,1
§ 6. Доказательство основной леммы
§ 7. Приложение
ГЛАВА VI. Гиперболические торы и асимптотические поверхности в гамильтоновых системах. ISI
§ I. Гиперболические торы
§ 2. Условия расщепления поверхностей, асимптотических к гиперболическому тору
§ 3. Существование гиперболических торов вблизи расщепленных сепаратрис
ДОБАВЛЕНИЕ. Кусочно-гладкие гамильтонианы и теория KAM
ЛИТЕРАТУРА
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

Ряд задач математики, механики и физики сводится к исследованию гамильтоновых систем - дифференциальных уравнений вида
* ЭН у
»’эг ’ э? ’ с >
где ^^ = (^1» локальные координаты на фазовом пространстве, -гладкая функция - функция
Гамильтона.
Вид уравнений (1) сохраняется только при некотором специальном классе замен переменных - при канонических (симплектических) заменах. В связи с этим полезно иметь в виду инвариантное (не апеллирующее к локальным координатам) представление уравнений (1). А именно, гамильтоновой системой часто называют тройку
(М, и, Н), (2)
где М - четномерное гладкое многообразие - фазовое пространство; Сл) - замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма на М симллектическая структура; Н:М-К — гладкая функция Гамильтона. Уравнения движения имеют вид
2 = 5рас1Н(2) , 2 £М , (3)
где векторное поле $д7ас1 Н удовлетворяет равенству
в(И С-) = ,
в левой и правой частях которого стоят 1-формы.
В силу теоремы Дарбу в окрестности любой точки на М существуют локальные координаты ,Х) > в которых форма Ы равна о(^Ло!х . Такие координаты называются каноническими (симплекти-ческими). Несложно проверить, что в канонических координатах уравнения (3) принимают вид ш.
Гамильтоновы уравнения часто определяют с помощью скобки Пуас-

периодических движений невозмущенной задачи. Из формул а.ч) видно, что функция не определена в точках из > лежащих на конечном числе гиперплоскостей
Совокупность всех таких точек назовем вековым множеством первого порядка и обозначим его ,
Коэффициенты Фурье находятся по следующей индуктивной формуле:
5Т = ——2П с б,<05*5* . »Л
Эта формула - следствие (2.2) ж обозначения (2.3). Ясно, что 5*^ можно представить в виде дробей, в знаменателях которых стоят выражения вида <^),Т > и их произведения.
Вековым множеством £ -го порядка В>(, назовем множество всех точек таких, что выполнены следующие условия:
с) <УСЙ),Т> = 0 , ГфО ,
и) <У(у)/г>5^(>
ш) на гиперплоскости <У,Т>=0 все функции 5^ пщ П<% аналитичны.
Положим «о
В = и ьк
к-* к
Назовем это множество вековым множеством возмущенной задачи. Поскольку точки множества В являются точками разрыва для коэффициентов Фурье функции 5 » то Для дальнейшего важную роль играет его
структура. Ясно, что каждое множество В^ и ,..и Ь[, состоит из конечного числа различных гиперплоскостей.
Основная Лемма. Пусть ос и ^ - вершины множества т,
удовлетворяющие условию ам). Тогда множество Ь^ содержит