Особенности границ областей устойчивости : Анализ и приложения

• Автор: Майлыбаев, Алексей Абаевич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 103 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава I. Особенности границ областей устойчивости

§1. Распад жордановых клеток

§2. Одно- и двухпараметрические семейства матриц

§3. Пример: устойчивость состояния равновесия в цепи вольтовой дуги

§4. Трехпараметрические семейства матриц

§5. Особенность “излом ребра”

§6. Маятник Циглера

§7. Семейства полиномов

§8. Случай произвольного числа параметров

Глава II. О смене критического тона
§1. Классификация способов смены критического тона
§2. Задача М.В. Келдыша об аэроупругой устойчивости крыла с подкосами
Глава III. Об особенностях оптимальных решений и методе учета
погрешностей параметров в задачах устойчивости
§1. Оптимизация крыла с подкосом по критерию аэроупругой устойчивости ... 75 §2. Критерий устойчивости и определение критической скорости с учетом
погрешностей параметров
§3. Нахождение критической скорости крыла с подкосом с учетом
погрешностей параметров
Заключение
Список литературы

Введение
Задачи устойчивости и колебаний неконсервативных систем приобрели особый интерес в связи с развитием современного машиностроения, авиации, ракетной техники и т.д. Этим задачам посвящено большое количество статей и монографий, см., например, [11, 16, 17, 36]. Анализ устойчивости является одним из основных этапов в исследовании неконсервативиой системы. Он приводит к необходимости исследовать собственные значения несамосопряженных операторов. На. практике для систем с бесконечным числом степеней свободы применяются различные методы дискретизации (метод конечного элемента, метод Бубнова Галеркина, и т.п.). В результате задача устойчивости сводится к изучению собственных значений конечномерного несамосопряженного оператора (т.е. несимметрической матрицы А).
В случае, когда рассматривается матрица А, отвечающая отдельно взятой неконсервативной системе, свойства собственных значений хорошо изучены, см. например [20]. По другому обстоит дело, когда исследованию подлежит не отдельная система, а целое семейство систем, гладко зависящих от параметров (длин, жесткостей, масс и т.п.). В этом случае целью исследования устойчивости является нахождение областей устойчивости в пространстве параметров. Для определения области устойчивости необходимо найти ее границу. Именно здесь и возникают главные трудности. Дело в том, что граница области устойчивости не является, вообще говоря, гладкой. Она может иметь особенности, отвечающие кратным собственным значениям матрицы А. При возмущении параметров кратные собственные значения распадаются на несколько собственных значений более низкой кратности (происходит бифуркация). Все это приводит к сложному анализу даже в самых простых случаях. Перечисленные вопросы изучаются в теории особенностей и бифуркаций - области математики, бурно развивающейся в последнее время. Обзор результатов в этой области дан в [5, 50].
Особенности границ областей устойчивости в случае автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида у — А у исследовались В.И. Арнольдом

[3, 4, 6]. Им были перечислены особенности общего положения в случае, когда матричный оператор А зависит от двух или трех параметров, и дано их описание с точностью до гладкой замены координат (диффеоморфизма). Эти результаты развивались в работах Л.В. Левантовского [29, 30, 31]. В [31] для семейств матриц и полиномов (автономных обыкновенных дифференциальных уравнений вида у — Ау и л(т) + а1х(т_1)-(- - + атх = 0) с точностью до диффеоморфизма описаны особенности общего положения границ областей устойчивости в случае четырех параметров (т.е. описаны перестройки трехмерных диаграмм устойчивости). В работах [29, 30] исследуются особенности границ областей устойчивости в пространстве действительных матриц и полиномов. С точностью до диффеоморфизма описаны касательные конусы (линейные приближения) к области устойчивости для всех типов особенностей в случае полиномов. В случае матриц касательные конусы описаны для особенностей, характеризуемых собственными значениями с одной жордановой клеткой.
Перечисленные выше результаты В.И. Арнольда и Л .В. Левантовского носят качественный характер. Они дают представление о том, какие особенности могут возникать на границах областей устойчивости, но не указывают конструктивные методы для исследования конкретных систем, зависящих от параметров.
Особенности границ областей устойчивости в случае циркуляционных систем (систем автономных обыкновенных дифференциальных уравнений вида у = А у), зависящих от двух параметров, изучались А.П. Сейраняном [44]. Им был предложен метод определения геометрии особенностей типа “излом границы” и “точка возврата”. Для этого использовалась информация о собственных и присоединенных векторах матрицы А, а также ее первых производных по параметрам в точке особенности.
С задачей исследования особенностей границ областей устойчивости тесно связана задача об определении стабилизирующих возмущений матрицы. Этому вопросу посвящена работа Дж.В. Бурке и М.Л. Овертона [53], где для возмущения вида А (г) = А0 + еВ (г > 0 — параметр возмущения) получены необходимые условия, которым удовлетворяет матрица В стабилизирующего возмущения.
С границами областей устойчивости связаны также другие эффекты теории осо-

Фиг. 6.2: Граница области устойчивости маятника Циглера.
- малое положительное число. Поскольку отрезок 7! = 72 = 0, р € [0, р0] является ребром области устойчивости, предел критической нагрузки peQ — lim рсг (71,72) для фиксированного направления (ei,e2) равен значению р, при котором вектор е = (ei,e2,0) выходит из касательного конуса Кр3{р) (при росте р от нуля). При этом выполняется условие (гЦроЦе) = 0 или (г2(ро),е) = 0. Например, при 71 = е, 72 = 0 имеем е — (1,0,0), ре0 = 2, г2(2) = (0, —5/2,0), (г2(2),е) = 0. Отсюда видно,
что значение предела критической нагрузки р§ различно для различных направлений (ei,e2). Для всех (ei,e2) ф с(4 + 5у/2,1), с > 0, этот предел меньше р0. При (ei,e2) = с(4 + 5л/2,1), с > 0, имеем Pq = ро Это связано с тем, что направления с( 4 + 5 л/2,1, а), о < 0, с > 0, принадлежат касательному конусу Ка2 из (6.8).
Смыкание “двугранного угла” в точке особенности “тупик на ребре” наглядно иллюстрирует явление дестабилизации неконсервативной системы малыми диссипативными силами [55] и неопределенность критической нагрузки при стремлении параметров диссипации к нулю [45]. Следует ожидать проявления подобных эффектов и для других систем с особенностями границы области устойчивости типа “тупик на ребре” и “излом ребра”.