Оптимальное управление и оценивание движения в некоторых задачах динамики

• Автор: Шматков, Антон Михайлович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 280 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Использование детерминированных моделей для оптимизации систем
§1.1. Оптимальное по быстродействию достижение заданной точки с пулевой конечной скоростью
§1.2. Оптимальное по быстродействию достижение сферы с нулевой конечной скоростью
§1.3. Влияние вязкой среды
§1.4. Уклонение от неподвижной сферы с помощью ограниченной силы
§1.5. Инерционность при реализации управления
Глава 2. Оптимальный по быстродействию манёвр “петля” без потери скорости
§2.1. Постановка задачи
§2.2. Оптимальное управление в трёхмерном случае.
§2.3.Учёт ограничения на знак кривизны траектории
Глава 3. Развитие и применение метода эллипсоидов
§3.1. Общие положения
§3.2. Новый способ аппроксимации оценки состояния линейной системы на основе метода эллипсоидов

§3.3. Оптимальный выбор ограничений по управлению
§3.4. Оценивание фазового состояния динамической системы при неточно заданных границах возмущений
§3.5. Управление матрицей системы
§3.6. Неточная реализация управления
Глава 4. Сопоставление стохастического и эллипсоидального оценивания неопределенности в динамической системе с возмущениями, ограниченными по величине
§4.1. Обсуждение проблемы
§4.2. Системы, близкие к стохастическим
§4.3. Построение возмущений, одинаково действующих на систему
§4.4. Сравнение воздействия винеровского и ограниченного процессов
§4.5. Построение аналога фильтра Калмана для гарантированной оценки состояния динамической системы
Заключение
Литература
Приложение

Введение
Как известно, к задачам оптимального быстродействия для материальной точки применимы методы оптимального управления движением в виде принципа максимума Л. С. Понтрягина [122], динамического программирования [122], [26], ^-проблемы моментов [74], а также прямые вариационные и численные методы [146], [28]. Однако до настоящего времени решённых задач сравнительно мало (см., например, [108], [67], [25], [97], [18], [208], [81], [43], [68], [98], [209], [44], [19], [63], [210], [136], [20], [80], [21], [135], [107], [64], [137]). Основная причина такого состояния дел в том, что после применения принципа максимума часто приходится решать нелинейную краевую задачу вдвое большей размерности, чем исходная. Поэтому представляют интерес любые модели, для которых может быть построен синтез, если они отражают реальность лучше, чем те, для которых он уже построен, без введения дополнительных переменных или используют минимальное их количество (см., например, [153], [73], [94], [60]).
Ещё в 1964 году А. М. Лётов справедливо указывал [90], что “инженеру мало одних утверждений о существовании или возможности получения частных решений в численном виде с помощью ЭЦВМ”. Через десять лет [14] отмечалось, что “работ, посвященных решению детерминированной задачи синтеза оптимальной замкнутой системы терминального управления, в отечественной и зарубежной литературе опубликовано значительно меньше, чем работ, в которых управление ищется в виде программы и(1). Лишь в некоторых из них решение доведено до конечной формы или указана эффективно реализуемая вычислительная процедура решения”. Аналогичное утверждение можно найти и в [22]. Двадцать лет спустя [41] положение оставалось прежним: “в настоящее время трудно указать хотя бы одну проблему качественной теории, которая не была бы уже достаточно полно решена для рассматриваемой

времени (тег/Го)1/2 получим соотношения типа (1.2.1), (1.2.2), в которых хо = 0, г = 1, .Ро = 1,т = 1. В безразмерных переменных задача управления содержит 2п параметров: п-векторы х° и и0, изменяющиеся в неограниченных пределах.
Необходимые условия оптимальности управления и = Г/Го в форме задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана имеют вид [122]
(т',ф-га = -1, и* = -тт~
(1.2.3)
Т = Т{х, у) > 0, х £ 5", у ф 0; Т = 0, х е 5”, V = О Здесь Т — функция Веллмана, и* — оптимальное управление в форме синтеза. Неизвестная Т(х, у) строится методом характеристик, что в алгоритмическом аспекте эквивалентно решению краевой задачи принципа максимума Понтрягина [122]. Из свойства центральной симметрии следует, что при п > 2 (случай п = 1 особый и требует отдельного рассмотрения) искомая функция Т определяется тремя автомодельными переменными I, к и с, а задача Коши (1.2.3) принимает вид Г/с// + Г//г2 - П - |7’/|/ = -1, Г = Т(/, /I, с)
/ = |х|, Ъ, = |н|, с = (х, и) (1.2.4)
Г > 0, I ф 1, Н ф 0; Т = 0, 1 = 1, Л =
Это означает, что задача оптимального быстродействия для п > 2 эквивалентна случаю п = 2, т. е. плоской задаче. Плоскость, в которой происходит процесс оптимального управляемого движения, определяется двумя ненулевыми векторами х, V. Очевидно, случай с — ±1к, включающий также случаи 2 = 0 или (и) у = 0, приводит к вырожденному одномерному движению. Свойство (1.2.4) эквивалентности плоской задаче полезно для построения решения исходной многомерной (п > 2) задачи оптимальной по быстродействию “мягкой посадки” на сферу. Оно также проявляется при применении необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина [4].