Стационарные движения гиростата на плоскости с трением : Устойчивость и ветвление

• Автор: Ситанская, Юлия Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 74 с. : ил

Содержание.
1. Введение
2. Глава 1. Инвариантные множества диссипативных систем с симметрией и их устойчивость
3. Глава 2. Инвариантные множества гиростата на плоскости с трением
и их устойчивость
4. Глава 3. Атлас бифуркационных диаграмм
5. Заключение
6. Список литературы

Введение
Задача о движении тяжёлого гиростата (в частности, твёрдого тела), опирающегося одной из своих точек о горизонтальную плоскость, представляет собой классическую задачу теоретической механики. В зависимости от характера взаимодействия тела с плоскостью различают три случая:
1) случай абсолютно гладкой плоскости, если тело может скользить по плоскости без трения;
2) случай абсолютно шероховатой плоскости, если тело вообще не может скользить по плоскости;
3) случай плоскости с трением скольжения, если тело, вообще говоря, может скользить по плоскости, но этому скольжению препятствует сила трения.
В первом случае динамика тела на плоскости описывается в рамках динамики гамильтоновых систем, а во втором - в рамках динамики консервативных неголономных систем. Эти случаи довольно хорошо изучены (см., например, [8]). Случай плоскости с трением скольжения изучен в меньшей степени, причём большинство результатов относится к задаче о движении абсолютно твёрдого тела [1-5, 8, 11, 16, 18,22]. Задача о движении гиростата на плоскости с трением наиболее полно изучена, по-видимому, в работе [15].
Таким образом, дальнейшее исследование вопросов существования, устойчивости и ветвления стационарных движений тяжёлого гиростата на горизонтальной плоскости с учётом трения скольжения представляет собой весьма актуальную задачу. Интерес к этой задаче вызван не только её важностью в теоретическом плане развития
динамики гиростатов на плоскости с трением, но и возможными её приложениями к динамике колёсных экипажей, мобильных роботов и т. д.
В случае, если гиростат динамически симметричен и ограничен сферической поверхностью, уравнения движения гиростата по плоскости с учётом трения скольжения всегда (независимо от вида трения ) допускают невозрастающую функцию ( полная механическая энергия) и первый интеграл (обобщённый интеграл Желле). Это даёт возможность применять модифицированную теорию Рауса - Ляпунова -Сальвадори [4,6,7,10-14,17,19-21,23-30] для исследования задачи о существовании, устойчивости и ветвлении стационарных движений гиростата на плоскости с трением скольжения. Применение этой теории значительно упрощается, если невозрастающая функция квадратична, а первые интегралы линейны по квазискоростям, поскольку в этом случае можно построить эффективный потенциал [ 4, 17] и свести исследование поставленной задачи к анализу эффективного потенциала. В случае, когда невозрастающая функция не содержит линейных по квазискоростям членов, а линейные интегралы не содержат свободных членов, построение эффективного потенциала осуществлено в [ 4, 17]. В задаче о движении гиростата по плоскости с трением полная механическая энергия удовлетворяет указанному условию, а обобщённый интеграл Желле содержит свободный член.
Поэтому определённый интерес представляют проблемы построения эффективного потенциала в общем случае и в задаче о движении гиростата по плоскости с трением, а также проблема анализа последнего с целью исследования всех стационарных движений гиростата.
Решению этих проблем и посвящена настоящая диссертация.

В точке (9 = 0 имеем минимум, а в точке в = п - максимум выражения
О. Если в точке в = 0 функция в положительна, то она положительна и для любого в е [0,я-]. Условие 0| 6,=0>0 имеет вид £>1-8. Следовательно, прямая 8 = 1 - е разделяет области, где выражение О положительно и где оно может менять знак. Обозначим теперь
= а. Очевидно, что если £-(1-<У)<0 т.е. 8<1-е, то

£ £ С>0, если сое#<---------- и С < 0, если соб6> > ■
1-£
Схематично это можно изобразить следующим образом

На рис. 1 обозначены области знакопостоянства выражения в.
2).Исследуем выражение О^Ляф-О-^соБ2#)2 -8(-8-е2). Очевидно, (о2 - ь)тт достигается при совб1 = -1, а (с2 - /,)тах, - при сеяв = а Разложим исследуемое выражение на множители
С2 — Ь = (1 — <5)2(соз0 — у+ ){соз0 — у _), где у± = а ± ^

Таким образом, 02-Ь положительна при соз6'>у+ и при соз^сщ и отрицательна при у_ < соэ# < у +.
Рассмотрим величину у+ и сравним ее с 1.