Численные методы решения различных задач для систем дифференциальных уравнений смешанного типа

• Автор: Эль-Намури, Ахмед Реда Мустафа
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 132 c. : ил

Известно, что ( [18] , [22] , [23]) задачи фильтрации газированной нефти приводят к решению системы дифференциальных уравнений с частными производными относительно двух неизвестных функций; относительно первой неизвестной (давления) даются как начальные, так и краевые условия, а относительно второй неизвестной (насыщенности) дается начальное условие. Однородные же задачи фильртрации газированной нефти при некоторых условиях приводят к решению аналогичных задач для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений [18]
Данная диссертационная работа посвящена численному решению следующих задач
Как мы отметили выше, к таким задачам приводятся различные прикладные задачи (см. также [II] ). Кроме того, к этим задачам приводятся и различные двухточечные задачи для уравнения высших порядков [28]
(I)

(2)

(3)

Так же отметим, что исследования задач (I), (2), (3) представляют и теоретический интерес, так как е случае
задачи, исследованию которых ранее были посвящены многочисленные работы. Следовательно, исследованием задач (I), (2), (3) исследуются и различные задачи для одного уравнения.
Итак, исследование задач (I), (2), (3), неоомненно, представляет как практический, так и теоретический интерес.
Однозначная разрешимость задач (I), (2), (3) легко доказывается применением принципа сжатых отображений (см., напр., [12], [15] ). Более общие теоремы об однозначной разрешимости этих и более общих задач доказаны, например, е работах [2] - [4], [24], [25], [27], [28]. Подобные задачи ранее были исследованы и в рабоВ этой диссертации для численного решения задач (I), (2), (3) применяется " К -шаговый метод". Для одного уравнения первого и второго порядков аналогичные исследования проведены ранее в работах Г1], 17], [29] и др. Заметим, что часть результатов, полученных для задач (I), (2), (3) яеляются новыми и для различных задач для одного уравнения первого и второго порядков.
Диссертация состоит из трех глав.
Первая глаЕа посвящена численному решению задачи (I). Для численного решения задачи (I) рассматривается разностная схема
задачи расщепляются на две самостоятельные
гах [8], [9], [14].

/*,•/*£„ Оо.к-0 - известные числа, а •

пос тоянные
О0фо , Есе корни уравнения
1*0
К К
2 ал
/•л
лежат е единичном круге и на границе этого круга нет кратных корней.
Эта глава состоит из пяти параграфов.
В первом параграфе рассматривается разностная схема первого порядка
Находятся достаточные услоьия для однозначной разрешимости нелинейной системы (5), доказывается сходимость специально построенных последовательных приближений к этому решению и оценивается скорость сходимости (Теорема 1.1).
В этом же параграфе доказаны устойчивость разностной схемы (теорема 1.2), а также изучена зависимость решения разностной схемы (5) от параметра (теорема 1.3).
Несмотря на то, что результаты этого параграфа носят вспомогательный характер для исследования разностной схемы (4), они также носят самостоятельный характер и могут быть использованы для численного решения уравнения первого порядка.
В § 2 строится и исследуется разностная схема для краевой задачи уравнения второго порядка.
В § 3 пользуясь результатами предыдущих параграфов находятся достаточные условия для однозначной разрешимости нелинейной системы (4), доказывается сходимость специально построенных ите-
(5)
ТАБЛИЦА I

Ю N? 1 /■"N • •«*
«ч і Ca •n. <û *> о» ‘са см V« *ч ‘са N. ©<Э Оч 1 са n -Ч- см са

Ю 6 . •м 34а ca CN ■»> Со Оч оч Ch o> оч o> ca cà ■N. оо ©О Оч O' On Оч ON о> ч-. » О ю ем •о Оч Оч Оч Оч Оч Оч СМ «à см ча fl- Оч Оч Оч Оч Оч Оч ка о *о са
/*ч
~vÜ c> X- câ СМ ci to ca Чг са" ‘о «à
<"Ч ю Ä .-* і /-ч * *4 TÜ H Ca 1 Qk x- en сч 1 с* V См <ч <зч ‘о Cv fb Оч і о <са <5а Оч 1 са ч— Оч лЬ •VA Ю Ö -H Q «a ca X. Оч ел о» o> о» Ч1 См ca о» ю Оо ль о» On Оч Оч О» -Ч' <а tb ®о см Оч Оч Оч О» г4~ t> о» 3 ч> са 04 Оч Оч Оч Оч Оч са СМ N. СМ ®о On Оч Оч 5!
о «а С5 са «а
rs *N» H ca ‘о См «5» «5» £ «5> S о» о» V» са' *о Ом >7 са
-ЦГ* «Э V- са см с> ю о» •Ch сэ ‘О câ