Численные методы решения обобщенного нестационарного уравнения Шрёдингера в неограниченных областях

• Автор: Злотник, Илья Александрович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 175 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Семейство разностных схем с приближенным ПГУ для нестационарного уравнения Шрёдингера на полуоси
1.1. Одномерная начально-краевая задача и семейство разностных
схем с общим приближенным Г1ГУ
1.2. Устойчивость семейства разностных схем с общим ПГУ
1.3. Семейство разностных схем па бесконечной сетке на полуоси .
1.4. Дискретное ПГУ для семейства разностных схем
Глава 2. Семейство разностных схем с приближенным ПГУ для нестационарного уравнения Шрёдингера в полуполосе .
2.1. Двумерная начально-краевая задача и семейство разностных
схем с общим приближенным ПГУ
2.2. Устойчивость семейства разностных схем с общим ПГУ
2.3. Семейство разностных схем на бесконечной сетке в полуполосе
2.4. Дискретное ПГУ для семейства разностных схем и его реализация
2.5. Численные эксперименты
Глава 3. Метод конечных элементов с приближенным ПГУ для нестационарного одномерного уравнения Шрёдингера
3.1. Начально-краевая задача и симметричный двухслойный модифицированный метод Галёркипа с общим приближенным ПГУ
3.2. Симметричный двухслойный метод типа Галеркипа для исходной задачи на полуоси
3.3. Модельный метод конечных элементов для вспомогательного
ОДУ на полуоси
3.4. Построение дискретного ПГУ для МКЭ
3.5. Численные эксперименты
Глава 4. Схема типа Кранка-Никольсон с расщеплением но потенциалу и дискретным ПГУ для уравнения Шрёдингера в

по лупо л осе
4.1. Уравнение Шрёдингера в полуиолосе и схема Кранка-Николь-
соп с расщеплением по потенциалу с общим приближенным ПГУ
4.2. Схема Кранка-Никольсон с расіцеплением по потенциалу на бесконечной по пространству сетке и дискретное ПГУ
4.3. Численные эксперименты
Заключение
Литература
Приложение А. Поведение ядер одномерных дискретных ПГУ
Приложение Б. Свободное распространение гауссовой волны
Приложение В. Прохождение одномерного волнового пакета через прямоугольный барьер
Приложение Г. Прохождение одномерного волнового пакета через двойной потенциальный барьер

Введение
Линейное нестационарное уравнение Шрёдингера и его обобщения играют важнейшую роль во многих областях физики: квантовой механике, ядер-ной, атомной и молекулярной физике, волновой физике и акустике, микроэлектронике, нанотехнологиях и других, см. [1. 2, 17, 19, 20, 77]. В задачах ядерной физики возникает обобщенное нестационарное двумерное уравнение Шрёдингера с переменными коэффициентами в полуполосе, см. [38, 58]. Уравнение Шрёдингера часто необходимо решать в неограниченных по пространству областях.
Подобные задачи привлекают большое внимание как в России, так и за рубежом. В этой и смежных областях в России работали: B.C. Рябенький, И.Л. Софронов, H.A. Зайцев, В.А. Гордин, В.А. Баскаков, A.B. Попов, Р.З. Даутов, Е.М. Карчевский, В.А. Трофимов, М.Ю. Трофимов, A.A. Злот-ник, см. в частности [3, 16, 2-3, 25, 26, 36, 45]. Ряд аспектов численного решения уравнения Шрёдингера отражен в недавних работах С.В. Полякова и А,. В. Разгулина, см. [21, 22]. За рубежом тематикой, связанной с решением уравнения Шрёдингера в неограниченных областях, занимались: A. Arnold, М. Ehrhardt, A. Schädle, F. Schmidt, М. Schulte (Германия), X. Antoine, C. Besse, L. Di Menza, B. Ducomet, J. Szeftel (Франция), L. Greengard, B. Mayfield, C.A. Mover (США), T. Fevens, D. Yevick (Канада), J. Jin, H. Han, X. Wu (Китай), см., в частности [31, 32, 46, 47, 54, 57, 63, 70, 75, 79, 83, 84], и многие другие.
Эффективное решение указанных задач требует применения специальных численных методов, обычно связанных с постановкой на искусственных границах точных или приближенных неотражающих/прозрачных граничных условий (ПГУ). Известны также абсорбирующие граничные условия (ABC) [29, 66, 76], идеально соответствующие слои (PML) [37, 42-44], комплексные абсорбирующие потенциалы (САР) [67, 73, 78] и др. Следует отметить, что существующие методы отнюдь не равноценны. Для некоторых из них в расчетах присутствуют заметные отражения от искусственных границ, вопросы лучшего выбора параметров и/или устойчивости методов не решены удовлетворительным образом, а иногда возникают проблемы с вычислительно устойчивой реализацией приближенных ПГУ, см. недавние обзоры [30, 41, 59[. Лучшие

где ао и а определены ранее в (1.25). Отметим, что Ф|„ 1 := 0 при j ^
J — 1. Поскольку а0(г + 1) + га(г — 1) = аг + а*, то имеем
с b := 1 — 2#/г2а ф 0. Из уравнения (1.67) для тех же г и j следует разностное уравнение
Данная дробно-линейная функция обобщает на случай любого 9 функцию 7о, определенную в (1.47).
Замечание 1.4. Функция £ = уд(г) устанавливает взаимно однозначное соответствие между проколотой единичной окружностью сШД-^о = = —Ь*/Ь} и вещественной осью {1т С = 0}. а также между открытым единичным кругом В1 и нижней полуплоскостью {1т С < 0}. Это следует из соотношений
Характеристическое уравнение для разностного уравнения (1.74) имеет

где fB - двузначная функция. Пусть для определенности 0 < v(z) ^ 1. Тогда фг(^)| ^ 1 поскольку v(z)v2(z) = 1.
Из формулы щ(г) + 17(z) = 2yo(z) следует, что |щ(г)| = 1 (а, следовательно, и |м2(г)| = 1) при условии, что уДг) вещественно и |7#(z)j ^ 1. Из замечания 1.4 следует, что 0 < ф](г)| < 1 < |м2(г)| по крайней мере при z| ф 1. Поэтому при z < l/q общее решение разностного уравнения (1.74) имеет вид
-2 (az + a* + bz + b*) Фj+l(z) - 2'ye(z)'S>j(z) + ФщДг) = 0,
(1.74)

(1.75)
u2{z) - 2тe{z)iz{z) + 1 = 0,
его корни таковы
Фj(z) = Ci(z)i/{ J+l(z) + С2{г)н]2 J+l(z) при j^J-l