Осреднение процессов в периодических средах

• Автор: Мозолин, Сергей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 118 c. : ил

Глава I. ОСРЕДНЕНИЕ НЕПОЛНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА . . 15 § I. Формальное осреднение неполной системы уравнений
Максвелла с гладкими коэффициентами
§ 2. Конечность скорости распространения возмущений
для осредненной системы Максвелла
§ 3. Обоснование осреднения системы уравнений
Максвелла с гладкими коэффициентами
§ 4. Постановка задачи в случае негладких
коэффициентов
§ 5. Формальное осреднение системы уравнений
Максвелла с негладкими коэффициентами
§ 6. 0 дифференцируемости решений осредненной
системы
§ 7. Обоснование осреднения системы уравнений
Максвелла с негладкими коэффициентами
Глава II. ФОРМАЛЬНОЕ ОСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ЧАСТИЦ
§ I. Постановка задачи
§ 2. Некоторые вспомогательные предложения
§ 3. Построение асимптотик

Глава III. ОБОСНОВАНИЕ ОСРЕДНЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА
§ I. Об одной оценке решения уравнения переноса
§ 2. Обоснование осреднения для периодической
задачи
§ 3. Обоснование осреднения для краевой задачи
§ 4. Сравнение численных расчетов с теоретическими
результатами
ЛИТЕРАТУРА

Во многих областях современной техники широко применяются

материалы, имеющие периодическую структуру. Процессы, протекающие в таких материалах, как правило, описываются уравнениями с быстроосциллирующими коэффициентами. Всвязи с этим численное решение возникающих задач чрезвычайно трудоемко; возникает необходимость выбирать сетку с мелким шагом, чтобы на каждую ячейку периодичности (размера порядка £ «I ) попало хотя бы несколько узлов. Это приводит к системам уравнений с крайне большим числом неизвестных, решение которых на ЭВМ часто бывает практически невозможным.
Развитая в последнее время методика осреднения уравнений в частных производных с быстроосциллирующими коэффициентами (см., например, [1-4 , 23-25] ) позволяет получать осредненные уравнения с постоянными или слабо меняющимися коэффициентами. Однако в ряде случаев вопрос о близости решений исходной и осредненной задач остается открытым.
В диссертации выведены оценки близости указанных решений для уравнений Максвелла; также получены уравнения, которым удовлетворяют главные члены асимптотических разложений по малому параметру £ решений односкоростного стационарного уравнения переноса частиц. В случае периодической и краевой задач для уравнения переноса доказаны оценки близости найденной асимптотики и решения исходной задачи.
Полученные асимптотики дают возможность качественного исследования решений уравнения переноса в тех или иных случаях. Оценки близости, доказанные в работе, позволяют получить численное реше-

Р' г^- '7>(Е°>' и -Здесь Ь = £ , п ~п ЕЕЕ . Следовательно,
при X. 7. £1 , ~Ь^Р)
-4- /~
— Я)Е; — СУ £- Е>Е
*1у 7^ + &УВУ +$^у(*'т)фГ ^г-№Н)± (10)
ру?&.+ (Ы£)г=е (1=/,Л.,3). (II)
Г^у 1^1 />
Кроме того, Е Ьл ~ Е Ел = 0 (при достаточно малых пу ),
^ч/ I I
£Г = И /. = (7 . Складывая соотношения (10) и (II) и ин-
/ г —О 1 ъ- ~0
тегрируя полученное равенство по цилиндру Л2 х [ОуЬр ]
, для
любого Ь0 (аналогично § 2) получим
I )
н^-
ГдЭС«с > ГОХоС
Поскольку 6 £%(&) , то (Е0)>^ ^ (^оУХаС ££*(*&)•
Так как Ц (£о) - (ЕоУ^ Ц р Ц (Н0У ~ <'Но}1II^(а) °
при ~>0 , то по известному критерию существования обобщенных производных [ю] существуют (ЕоУха 9 (МоУхл££-2,('&)*
Итак, доказано, что при Г, Сг € 7^(ПГУ , Е-ех^ ,
Е^(Ет) { оС = ) функции (ЕоУ , (^У ПрИнадлежат пространству ЛЕг(П-т)
Положив
Е & Е^£(пт)> ЕььХъ, ЕхоСх/3) &-£ХосХ/ь £^(Пт)?
Щ*), %&>,*), Ь*(*,2)> Ьи(°> (12)
ГЩз(ЕХЕ &ХлХр(й>х) б1^з)Р