Методы оптимального управления и сопряженных уравнений для задач геофизической гидродинамики

• Автор: Ботвиновский, Евгений Александрович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 131 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Основные положения методологии построения алгоритмов решения одного класса систем операторных уравнений
1.1 Основы общей методологии
1.2 Случай симметричного оператора Л
2 Численное решение нестационарной системы Стокса, возмущенной кососимметрическим оператором
2.1 Постановка задачи для нестационарной системы Стокса и переформулировка ее как задачи оптимального управления
2.2 Вариационные уравнения
2.3 Итерационные процессы
2.4 Методы уточнения приближенного решения
2.5 Численные эксперименты
3 Численное решение системы уравнений динамики приливов
в декартовых координатах
3.1 Постановка задачи
3.2 Схема расщепления
3.3 Решение стационарной системы
3.4 Задача оптимального управления
3.5 Итерационный процесс решения задачи
3.6 Результаты численных экспериментов
4 Численное решение системы уравнений динамики приливов на сфере

4.1 Постановка задачи
4.2 Схема расщепления
4.3 Решение стационарной системы
4.4 Задача оптимального управления
4.5 Итерационные процессы
4.6 Некоторые свойства гладких решений
5 Численное исследование итерационных процессов на сфере
5.1 Стационарная линейная система уравнений динамики приливов с оператором До : сферический слой
5.2 Нестационарная линейная система уравнений динамики приливов с оператором До : сфера
5.3 Нестационарная линейная система уравнений динамики приливов с оператором Д і : сфера
5.4 Численное исследование ошибок алгоритма от замены оператора Ді на оператор До
5.5 Численное исследование влияния специальных условий в ’’полюсных точках”
5.6 Численные эксперименты для тестовых решений
5.7 Численные эксперименты с реальными данными
Заключение
Приложение. Алгоритмы решения уравнений Навье-Стокса
П.1 Постановка задачи
П.2 Алгоритм решения эволюционных уравнений на основе общей
методологии
П.З Алгоритм решения дискретизованных по времени уравнений
на основе общей методологии
Список литературы

Введение
Большое количество физических процессов динамики океана описывается моделями, использующими различные модификации и упрощения классических задач гидродинамики, таких как система уравнений Навье-Стокса [16, 29, 31, 41, 15, 36, 30, 82].
Исследование и численное решение системы уравнений Навье-Стокса - одна из наиболее сложных задач вычислительной математики и гидродинамики, методы решения которой активно разрабатывались в течение последних 50 лет. Количество работ, опубликованных на эту тему, не поддается исчислению, отметим лишь малую часть монографий [24, 43, 37, 4, 45, 70, 71]. Большинство этих работ посвящено развитию численных методов решения уравнений Навье-Стокса и различных их модификаций. Трудности при решении этих задач связаны с недостаточной информацией о точных решениях (почти все найденные точные решения не несут в себе специфики нелинейной задачи). Дополнительные сложности возникают при учете реальных физических данных (геометрия области, разброс значении коэффициентов, специфика поведения решений, размерность задачи, расчет на долгий интервал по времени, ограниченные ресурсы ЭВМ и многое другое). Существующая, в то же время, большая востребованность решения данных задач при моделировании физических процессов гидродинамики оставляет актуальным вопрос о разработке эффективных методов решения в каждом конкретном случае.
Одним из подходов конструирования новых алгоритмов решения задач математической физики (в том числе и задач гидродинамики) является методология их построения, базирующаяся на методах теории оптимального управления. Вероятно, впервые эти подходы были предложены в работе [52] в применении к решению классической стационарной системы Стокса

2.5 Численные эксперименты.
Главная цель численных экспериментов заключалась в подтверждении сходимости итерационных процессов (2.30)-(2.32) и в исследовании их скорости сходимости. Кроме того, нас интересовал вопрос об уточнении приближения к функции давления и применение подходов описанных в предыдущем разделе.
Все численные расчеты проводились для О С М2, 12 = (О, А) х (О, В). При численной реализации итерационных процессов для решения системы параболических уравнений на каждом шаге использовался метод собственных функций, который для сетки 50 х 50 узлов по пространству, 200 - по временному интервалу на гладких решениях давал результаты относительной ошибки га 0.001. Повторим, что мы здесь не стремились использовать наиболее эффективные методы, так как нашей главной целью было исследование итерационного процесса (1.12) и его характеристик.
Пример 1. Точное решение задается формулами
В этом тестовом примере правые части - функции /1, /2 - равны нулю на
(2.45)
(2.43)
(2.44)
дП х (0,Т).
Пример 2. Точное решение задается формулами
у(г,х,у)
и(г, х, у)
(2.47)
(2.46)

(2.48)
Пример 3. Точное решение задается формулами
и,х,у) = у(г,х,у) = 0,
(2.49)