Численная стабилизация неустойчивых решений уравнений Навье-Стокса с границы области

• Автор: Иванчиков, Андрей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 100 с. : ил.

Содержание

Содержание
Введение
Глава 1 Численное решение спектральных задач для уравнений Стокса
§ 1.1 Необходимые сведения о спектральных задачах для уравнений
Стокса
1.1.1 Определение оператора
1.1.2 Свойства спектра
§ 1.2 Постановка спектральных задач и их дискретизация
1.2.1 Задача с краевыми условиями первого рода
1.2.2 Дискретизация задачи
1.2.3 Задача с периодическими условиями по одному направлению
1.2.4 Дискретизация периодической задачи
§ 1.3 Алгоритмы и их тестирование
1.3.1 Общие замечания
1.3.2 Решение уравнения Пуассона методом Фурье
1.3.3 Метод сопряженных градиентов решения уравнений Стокса
1.3.4 Решение симметричной частичной проблемы собственных чисел методом Ланцоша
§ 1.4 Решение спектральных задач
1.4.1 Численное решение спектральной задачи с условиями первого рода
1.4.2 Аналитическое решение периодической задачи
1.4.3 Численное решение периодической спектральной задачи . 31 § 1.5 Выводы
Глава 2 Численная стабилизация решений уравнений Стокса и
Навье — Стокса
§ 2.1 Постановка модельной задачи
§ 2.2 Алгоритм стабилизации в дифференциальной форме
§ 2.3 Дискретизация задачи по пространству и времени
§ 2.4 Численное решение вспомогательных спектральных задач
§ 2.5 Результаты численных экспериментов
2.5.1 Устойчивая задача Стокса (Яе = 0, у = 0)
2.5.2 Неустойчивая задача Стокса (Яе = 0, у = 2)
2.5.3 Устойчивая задача Навье - Стокса (Бс = 1,7 = 0)
2.5.4 Неустойчивая задача Навье - Стокса (Яе = 1,7 = 2)
2.5.5 Увеличение числа Рейнольдса в неустойчивой задаче Навье - Стокса
§ 2.6 Выводы
Содержание
Глава 3 Исследование спектральной задачи, связанной с устойчивостью течения Куэтта
§ 3.1 Постановка задач
3.1.1 Краевая задача для уравнений Навье - Стокса в цилиндрических координатах
3.1.2 Линеаризация уравнении Навье - Стокса и спектральная задача
§ 3.2 Дискретизация задачи
3.2.1 Дискретизация стационарной задачи
3.2.2 Дискретизация нестационарной задачи
§ 3.3 Алгоритм решения спектральной задачи
3.3.1 Метод Арнольди
3.3.2 Явный метод
§ 3.4 Аналитическое решение спектральной задачи в некоторых частных случаях
3.4.1 Решение спектральной задачи при Ее ф 0, иг = 0, гг
3.4.2 Решение спектральной задачи при Е.е = 0, иг — 0, гг
3.4.3 Решение спектральной задачи при В,е ф 0, ьФ ф
3.4.4 Решение спектральной задачи при Ее = 0, уФ
§ 3.5 Численные эксперименты
3.5.1 Решение спектральной задачи на разных сетках
3.5.2 Решение спектральной задачи при разных числах Рейнольдса
3.5.3 Решение уравнений Навье - Стокса при разных числах Рейнольдса
§ 3.6 Выводы
Глава 4 Численная стабилизация неустойчивого течения Куэтта
§ 4.1 Краевая задача для уравнений Р1авье - Стокса
§ 4.2 Алгоритм стабилизации в дифференциальной форме
§ 4.3 Дискретизация задачи по пространству и времени
§ 4.4 Спектральная задача и вопросы устойчивости
§ 4.5 Стабилизация. Численные эксперименты
4.5.1 Стабилизация с обратной связью
§ 4.6 Выводы
Заключение
Список литературы
Введение

Введение
Уже долгое время задачи управления решениями эволюционных уравнений в частных производных являются объектом исследования математиков. В их числе рассматриваются уравнения, допускающие неустойчивые решения. В теории неустойчивых задач информации о существовании и единственности решения недостаточно для их успешного численного решения. Поэтому задачей теоретиков является также с одной стороны указание алгоритма решения, с другой стороны — исследование процесса возникновения возмущений и разработка методов их подавления.
Задачей стабилизации решения некоторого эволюционного уравнения является поиск краевого условия Дирихле при заданном начальном условии v|t_0 = Vq и условии стремления решения к заданной функции v —> w(.t) при t —* оо. Такой функцией может быть, например, стационарное решение этого уравнения. Объектом нашего исследования будет задача стабилизации неустойчивого решения системы Навье - Стокса, описывающей движение вязкой несжимаемой жидкости.
Среди работ, посвященных стабилизации уравнений математической физики, наиболее теоретически законченной и совершенной является теория A.B. Фурсикова, развитая в [34] — для квазилинейных параболических уравнений, в [35] — для двумерных уравнений Навье - Стокса и Озеена, в [32], [33] — для трехмерных уравнений Навье - Стокса. Теория A.B. Фурсикова послужила отправной точкой, базисом для настоящей работы. Сама она базируется на более общих результатах из теории банаховых пространств. Перейдем к ее краткому изложению. Рассмотрим уравнения Навье - Стокса
dtv(t, х) — Av(t,x) + (v(i, х), V)v + Vp(i, х) — f(i, ж), divv = 0, (1)
в ограниченной области Г2 G М3 с гладкой границей <ЭП с начальными и
краевыми условиями
v(*,®)|i=o = vo(a;), v(t,х)ш = vc. (2)
Пусть известно стационарное решение w(x), удовлетворяющее уравнениям (1) которое, возможно, является неустойчивым. Сформулируем теперь задачу стабилизации. Для начального условия vo(.t) из достаточно малой окрестности w(x) и числа а > 0 найти управление vc такое, что решение v(l, х) начально-краевой задачи (1), (2) устремится к стационарному решению с показателем <т:
||v(£, ) - w||vi(n) < С e~ut при t > 0, (3)
где Vfe(H) = {v € (tffc(H))3 : div v = 0}.
Гл. 2 Численная стабилизация решений уравнений Стокса и Навье — Стокса

Глава 2 Численная стабилизация решений уравнений Стокса и Навье - Стокса
Известно большое количество работ как теоретического, так и экспериментального характера, посвященных исследованию феномену неустойчивости течений вязкой несжимаемой жидкости, описываемой уравнениями Навье - Стокса (см., например, [10] и цитированную там литературу).
Под задачей стабилизации мы будем понимать задачу подавления возмущений с заданной скоростью в окрестности как устойчивых, так и неустойчивых стационарных решений уравнений Стокса и Навье - Стокса. Для простоты эти решения выбираются тривиальными, т.е. тождественно нулевыми, и система координат используется декартова. Причем для заданного начального возмущения необходимо построить такие граничные условия, которые обеспечивают стремление нормы возмущения решения к нулю с оценкой
||и(хД)||Ъ2(п) < С ехр(—ai) (2.1)
при некоторой наперед заданной постоянной о: > 0.Алгоритм стабилизации решения дифференциального уравнения по граничным условиям состоит из трех этапов: продолжение - проектирование заданного начального условия из исходной области на более широкую, интегрирование нестационарной системы уравнений в широкой области, приводящее к искомым граничным условиям, и, собственно, стабилизация с заданной скоростью, т.е. интегрирование системы уравнений в исходной области с полученными граничными условиями. Наиболее содержательным моментом является первый этап, связанный с проектированием на подходящее устойчивое или неустойчивое инвариантное многообразие.
В оригинальной работе A.B. Фурсикова [34] алгоритм стабилизации был обоснован для квазилинейного параболического уравнения на дифференциальном уровне. Затем в работе Е.В. Чижонкова [36] был построен и проанализирован его дискретный аналог и проведен ряд численных экспериментов для уравнения Чафе - Инфанта (Chafee and Infante). Как выяснилось в [36], в численных экспериментах обычно оказывалось достаточным проектировать не на само нелинейное многообразие, а на его линейную часть. Но эта более простая процедура требует регулярного повторения, и ее частота определяется характером нелинейности и абсолютной величиной нормы возмущения. Кроме того, такая замена имеет свои естественные ограничения, связанные с близостью линейной и нелинейной задач. В работе A.B. Фурсикова [32] алгоритм стабилизации на дифференциальном уровне был обобщен на систему уравнений Навье - Стокса. Здесь процедура продолжения - проектирования была изменена таким образом, чтобы начальная функция в расширенной области была непрерывной и соленоидальпой одновременно. Отвечающий та-