Решение эллиптических краевых задач методом Монте-Карло

• Автор: Макаров, Роман Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 101 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Алгоритмы ’’блуждания по сферам” с отражением от границы для решения второй и третьей краевых задач
1.1. Основная задача и определения
1.2. Вывод интегрально-разностного уравнения
1.3. Случайный процесс ’’блуждания по сферам” с отражением
от границы
1.4. Оценки решений второй и третьей краевых задач, для уравнения Аи — си = *-д методом Монте-Карло
1.5. Продолжение оценок на случай уравнения Аи + си — —д
Глава 2. Глобальные алгоритмы решений второй и
третьей краевых задач
2.1. Случайные блуждания по решетке
2.2. Глобальные алгоритмы метода Монте-Карло и задача минимизации трудоемкости
Глава 3. Оценки собственных чисел для вторых и
третьих краевых задач
3.1. Оценки параметрических производных от решений интегральных уравнений 2-го рода
3.2. Оценка производных по спектральному параметру от решения краевой задачи
3.3. Вычисление собственных значений
3.4. Оценка первого собственного числа для оператора Д + с(г)
Глава 4. Решение краевых задач для нелинейных
эллиптических уравнений
4.1. Решение второй краевой задачи для нелинейного уравнения
4.2. Оценки частных производных от решений краевых задач
4.3. Оценки вторых частных производных от решений краевых задач
4.4. Параметрическое продолжение оценки решения нелинейной задачи Дирихле
Заключение
Литература

Введение
Методы Монте-Карло, ставшие классическими в задачах теории переноса [12, 32, 38], в последнее время получили интенсивное развитие в области численного решения разнообразных задач математической физики. Как известно, основными преимуществами метода являются его простота и физическая наглядность, возможность решения многомерной задачи со сложной геометрией и оценивания отдельных функционалов от решения без запоминания значений решения во всей области, одновременное оценивание вероятностной погрешности оценки решения и простое распараллеливание метода. Кроме того, использование весовых модификаций позволяет вычислять кратные параметрические производные и, на этой основе, собственные значения краевых задач. Следовательно, важной задачей является расширение области применения алгоритмов метода Монте-Карло, особенно на случай нелинейных краевых задач. Численное решение таких уравнений обычно связано со значительными трудностями.
Как правило схема решения краевых задач, используемая в методах Монте-Карло, заключается в сведении исходной задачи к некоторому интегральному уравнению. Среди подходов такого рода выделим следующие два.
Подход I связан с использованием формул Грина для стандартных областей, содержащихся в исходной области, например, для шара, сферы, эллипсоида, и т.д. При этом локальное интегральное уравнение записывается на само решение исходной дифференциальной задачи, а ядро этого уравнения является, как правило, обобщенным. Решение локальных интегральных уравнений с обобщенными ядрами практически невозможно традиционными численными методами, но такой вид ядер допускает естественную реализацию методом статистического моделирования.

Таблица 1.5. Задача со смешанным краевым условием
с и(г, с) ин±(Тх <72 N к
-10.00 3.0261 3.0413 ±0.0075 5.08
-5.00 1.7966 1.8018 ±0.0027 0.66 9 ю4
-1.00 1.1312 1.1320 ±0.0004 0.02 9 ю4
1.00 0.8809 0.8802 ±0.0005 0.02 9 ю4
3.00 0.6759 0.6733 ±0.0018 0.28 9 ю4
5.00 0.5097 0.4947 ±0.0060 3.26 9 ю4
6.00 0.4394 0.3863 ±0.0103 9.64 9 ю4
6.50 0.4071 0.3498 ±0.0312 971.15
7.00 0.3767 0.2295 ±0.0352 1238.87
Полученные результаты свидетельствуют, что оценка метода Монте-Карло для с > 0 незначимо уклоняется (с учетом статистической погрешности <тм) от точного решения, причем в случае задачи с третьим краевым условием хорошие результаты получены вплоть до значения с — с*.