Оценивание функций и их моментов по методу Монте-Карло

• Автор: Корякин, Алексей Иванович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 134 c. : ил

В настоящее время в связи с прогрессом вычислительной техники все более широко используется и получает новые применения в вычислительной математике метод Монте-Карло (метод статистических испытаний). Первостепенное значение этот метод имеет для задач теории переноса, а также для численного интегрирования,решения краевых задач и многих других вычислительных задач [1-5] . Большие успехи в разработке статистических алгоритмов решения таких задач были достигнуты советской научной школой, возглавляемой академиком Г.И.Марчуком.
Алгоритмы метода Монте-Карло предназначены для численного оценивания функции и её моментов (интегралов) по результатам «Л/ наблюдений этой функции, полученным с некоторой вероятностной точностью при помощи моделирования случайных величин. Среди других способов метод Монте-Карло выделяется рядом преимуществ: возможностью его использования для широкого класса интегрируемых функций -ре 1др, р>1 , определенных на сложных многомерных областях; возможностью апостериорного оценивания погрешностей вычислений и последовательного увеличения числа «Л/ значений функции; простотой алгоритмов решения задач,допускающих вероятностное описание. В отличие от математической статистики, где также рассматриваются задачи оценивания характеристик случайных функций, в методе Монте-Карло имеется возможность выбора закона распределения случайных величин для получения более точных оценок. Использование метода Монте-Карло для решения задач, описывающих реальные процессы,зачастую приводит к необходимости получения значений сложных, трудоемких функций. Это стимулирует разработку новых более точных алгоритмов оценивания,т.к. сходимость простейших монтекарловских оценок с ростом Л/ медленная,а воз-

можноети современных ЭВМ позволяют использовать сложные алгоритмы обработки полученных значений функции.

Проблема увеличения точности оценивания интегралов ^ (у)

-р€ 12(р) по значениям | в)1 случайных узлах занимает центральное место в теории метода Монте-Карло [з,5-7] . Известные способы уменьшения вероятностных ошибок основаны на использовании апри -орной информации об интегрируемой функции, которую может иметь вычислитель. Медленная сходимость таких алгоритмов, имеющая место для функций из 1л2(^) , может быть существенно повышена на более узких функциональных классах. Так, для гладких функций показана возможность построения оптимальных по порядку сходимости
.,1/2
статистических алгоритмов, по вероятности в Л раз более точ -ных, чем любой детерминированный способ интегрирования [8,9] . Значимость этого свойства возрастает с ростом размерности задачи, когда точность детерминированных способов интегрирования резко падает. Поэтому существует необходимость в удобных для реализации асимптотически оптимальных на классах функций алгоритмах интегрирования, учитывающих априорную информацию об интегрируемой функции и позволяющих контролировать точность вычислений.
Часто встречающейся в вычислительной математике является задача восстановления неизвестной функциональной зависимости по результатам её наблюдений в отдельных точках. Ситуация, когда эти точки представляют собой случайные величины, возникает при использовании методов статистического моделирования для решения целого ряда задач [ь-б] . При этом бывает необходимо оценивать функцию не только в отдельных точках, а на поле её значений [10-11 Использование статистических алгоритмов позволяет получать по наблюдениям в случайных узлах состоятельные оценки всех 6 .

В диссертации рассматривается задача численного оценивания функции -р(х) векторного аргумента из Ь2(ф) и её моментов дажх^х) по М значениям этой функции, полученным в случайных узлах. При этом значения функции могут быть получены со случайными ошибками, а вероятностный закон распределения случайных узлов может быть неизвестен. Целью работы является построение новых алгоритмов решения поставленной задачи, эффективных для функций повышенной вычислительной сложности ИЗ 1а2(^0 и позволяющих численно оценивать погрешность вычислений, исследование свойств и особенностей применения этих алгоритмов, их сравнение с известными способами оценивания на классах функций Ф с 12^), а также использование этих алгоритмов для решения задачи численного моделирования прохождения сильноточного пучка релятивистских электронов через нейтральный газ. Для функций |£ (м) проводится сравнение с известными способами вероятностных ошибок оценивания интегралов, вьщеление допустимых на Ь2(|и) и эффективных оценок. Для функций с известным порядком убывания с ростом т ошибок их линейных ПО -мерных аппроксимаций исследуются порядки вероятных погрешностей оценивания При Д/^>- ОО э в частности, на классах гладких функций [12-14] . В зависимости от точности линейной аппроксимации исследуемой функции определяется, какой из рассматриваемых способов обеспечивает лучший порядок вероятных погрешностей оценивания функции и её моментов.
Увеличение точности построенных в работе аппроксимационных алгоритмов по сравнению со стандартными алгоритмами Монте-Карло зависит от точности аппроксимации функции ^ линейным разложением, которая ухудшается с ростом размерности задачи. Поэтому применение новых алгоритмов для функций большой размерности может оказаться неэффективным. Эти алгоритмы предназначаются для функций векторного аргумента повышенной вычислительной сложности,
- 50 -
что,начиная с некоторого т = т0^1,
Ь5Г(т) £ соН^ &-Я(Ф).
Для быстро изменяющихся функций 51(т) рассматривают еще убывание по типу 5Г(т) , оО(т) М 5Г(т) , когда для положительных чи
сел 0,51
£>Г1М^а)(т^ ШМ.
При 5Т(т) - т0* из со(т) )( ЗГ(т) следует сО(т) ~ ЗЦт).
Теорема 2.1. I. Задача оценивания |(х)£ 1д2(]й) по её значениям в случайных узлах статистически корректна в норме ,
если ХОТЯ бы ДЛЯ ОДНОЙ ПОЛНОЙ в 1л2((1Л) системы функций ф(х)51=1Д ••• выполняется (2.1.3) и 51 П* = о(5/2)
2. Если последовательность подпространств ЕугсЦ(р) , определенных системами -ортонормированных функций {ф^х), 1=4/, которые удовлетворяют условию (2.1.3), задана так, что с ростом ГА ^2(т,х)^(ск) порядка с!2(т) , то при лучшем выборе
М 'х Г(-Л/2“^) уклонение по вероятности в норме 12(|к0 проекционной оценки от |(х) имеет с ростом Л порядок
Доказательство. Рассмотрим функцию риска (2.1.2) для оценок С;,О0 (1.1.2). По условию (2.1.3) и (1.1.3)
J гДм-е]2«
■=1 L J£
(2.1.4)
и при =-o(j/2) эта величина сходится к нулю с ростом J/.
сходится при m -*• о® к нулю как остаток сходящегося ряда, если в качестве базисных функций использовать любую полную в Ц(|Л) систему. Поэтому, можно подобрать такую зависимость m=^(J/) , чтобы обе части функции риска (2.1.2) сходились к