Разностные и проекционно-разностные схемы для задачи движения вязкого слабосжимаемого баротропного газа

• Автор: Жуков, Константин Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 149 с. : ил.

1 Оценка производных точного решения
§1.1 Обозначения и используемые утверждения
§1.2 Теорема существования и единственности обобщенного решения
§1.3 Локализация и спрямление границы
§1.4 Оценка производных по временной переменной
§1.5 Локальная оценка производных по пространственным переменным
§1.6 Оценка производных по пространственным переменным
2 Конечно - разностная схема
§2.1 Обозначения и вспомогательные утверждения
§2.2 Разностная схема
§2.3 Существование и единственность разностного решения
§2.4 Алгоритм поиска разностного решения
§2.5 Исследование точности разностной схемы
3 Метод конечных элементов
§3.1 Галеркинское приближение
§3.2 Оценка близости галеркинского приближения

§3.3 Проекционно-разностная схема
§3.4 Исследование точности проекционно-разностной
схемы
Заключение
Литература
Приложение

Задачи движения вязких сжимаемых сред относятся к важным задачам механики сплошных сред [39, 54]. Одной из таких задач является движение вязкого баротропного газа, математическую модель которого принято описывать следующей системой, записанной в переменных Эйлера
т +,с]М/>и) = О, <9и
Р ж + (и,У)и
(0.1)
р = р{р),
где Ь есть линейный эллиптический оператор
Ьи = (Цу(р/и) + У((р + Л)с11уи).
Выше через р и Л обозначены коэффициенты динамической и сдвиговой вязкости, которые считаются известными константами и удовлетворяют условиям
р > 0, р + Л > 0, Л < 0.
Неизвестные функции: плотность р и вектор скорости и, являются функциями переменных Эйлера
(£,х) € <3 = [0,Т] х О,.
В уравнения входят еще две известные функции: вектор внешних сил Г, являющийся функцией переменных Эйлера и давление газар,-зависящееют-плотности
Дополним систему (0.1) начальными и граничными условия-

Домножим неравенство (5.7) на К и просуммируем полученное неравенство и неравенство (5.6)
дпрх

і=Т
дпих
діп І=Т
+ (^(1-£С0)2-£і-|)
, дпиху

+ (2/1 - 8р2КС%Ь2)

* дгп
2 /іЬ — £з — £4 — 2цЄ<ьЬ2 — 2/1Є§

2,2
2,2

(5.8)
-д2(8 + 82Ь2)КСЦ
<9пУи„

2,2
^ ірі + Кір2.
Выберем теперь величины Ь, К и Єі (і=1,2,3,4,5,6) следующим образом

2Сп!4.

20С0У

240С0У

16'
После такого выбора неравенство (5.8), предварительно умноженное на /г, может быть переписано в следующем виде Р к
дпрх 2 дпиг 2 дпрх 2 , 2 дп7их
дії1 ь=т + р діп і—Т + діп + Р 2,2 діп
2,2
^п+1

діп+1
2,2

2,2
+ /И
<9пУи
2,2

( Р <9>ж 2 дпих дп Зх 2 <94 2
* дА71 і=0 + Р діп і= 0 А:2 дії1 + 2,2 <9іп 2,2
(5.9)
Преобразуем систему (5.1), продифференцировав первое уравнение системы (5.1) один раз по у, а затем всю систему по і п раз,
дпи2 дпи}„, дпа„ _ дпи]

дп+1ру _діп+1
+ /с-

дпду
дії1

дп+ 1и1 дп +
діп+1 ді:

Рх _ Л дГііФ ' Л дпру п лЛ <9пщ1
Пхг, Фх Сиг

ді7.

■Ті