Модифицированные функционалы Лагранжа в механике

• Автор: Ткаченко, Алексей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 105 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. РЕШЕНИЕ ПОЛУКОЭРЦИТИВНОЙ ЗАДАЧИ СИНЬОРИНИ МЕТОДОМ ИТЕРАТИВНОЙ ПРОКСИМАЛЬНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ МОДИФИЦИРОВАННОГО

ФУНКЦИОНАЛА ЛАГРАНЖА

§ 1. Постановка задачи

§2. Метод Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала

Лагранжа на последовательности триангуляций

§3. Алгоритм численного решения методом Удзавы с итеративной регуляризацией

модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций

§4. Метод Удзавы на основе модифицированной функции Лагранжа для

конечномерного случая

§5. Метод Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированной функции
Лагранжа для конечномерного случая
Глава 2. РЕШЕНИЕ КОЭРЦИТИВНОЙ СКАЛЯРНОЙ ЗАДАЧИ СИНЬОРИНИ
МЕТОДОМ УДЗАВЫ
§1. Коэрцитивная скалярная задача Синьорини
§2. Алгоритм решения коэрцитивной скалярной задачи Синьорини методом Удзавы
на основе классического функционала Лагранжа
§3. Алгоритм решения коэрцитивной скалярной задачи Синьорини методом Удзавы
на основе модифицированного функционала Лагранжа
Глава 3. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ ФУНКЦИОНАЛ ЛАГРАНЖА ДЛЯ РЕШЕНИЯ
МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ С ТРЕНИЕМ
§1. Постановка задачи. Функционалы Лагранжа
§2. Метод Удзавы
§3. Метод Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала...67 §4. Алгоритм численного решения методом Удзавы с итеративной регуляризацией
модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ПРИМЕРЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ПО Л У КОЭРЦИТИВНОЙ СКАЛЯРНОЙ ЗАДАЧИ СИНЬОРИНИ МЕТОДОМ УДЗАВЫ С ИТЕРАТИВНОЙ
РЕГУЛЯРИЗАЦИЕЙ МОДИФИЦИРОВАННОГО ФУНКЦИОНАЛА ЛАГРАНЖА
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ПРИМЕРЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ КОЭРЦИТИВНОЙ
СКАЛЯРНОЙ ЗАДАЧИ СИНЬОРИНИ МЕТОДОМ УДЗАВЫ
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ПРИМЕР ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ С ТРЕНИЕМ МЕТОДОМ УДЗАВЫ С ИТЕРАТИВНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИЕЙ МОДИФИЦИРОВАННОГО ФУНКЦИОНАЛА НА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ТРИАНГУЛЯЦИЙ

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы.
Теория вариационных неравенств возникла в шестидесятых годах двадцатого века. Основы данной теории были заложены в работах [26],
[27]. Первой задачей в области вариационных неравенств стала задачи из теории упругости - задача Синьорини, впервые полностью описанная в работе [26]. Далее исследование вариационных неравенств продолжилось в работах Ж. Лионса, Г. Стампаккьи и их учеников. В этой связи следует упомянуть следующие работы [1], [2], [5], [28], [29]. В настоящее время данная теория активно развивается и представляет интерес для математиков, механиков и экономистов. В экономике вариационные неравенства применяются при моделировании и исследовании равновесных задач экономики и исследований операций. Вариационные неравенства развивались и развиваются в работах Андерсена Л.-Е. и Хлуднева А.М. [30], Аннина Б.Д. и Садовского В.М. [31], Аннина Б.Д. и Черепанова Г.П. [32], Антипина A.C. и Васильева Ф.П. [33], Бадриева И.Б. и Задворнова O.A. [34], Бердичевского В.Л. [35], Вихтенко Э.М. и Намма Р.В. [20, 21, 23], Конпова И.В. [36-40], Лапина A.B. [41, 42], Мосолова П.П. и Мясникова В.П. [43], Рудого Е.М. и Хлуднева А.М. [44], Рязанцевой И.П. [45-47], Уральцевой H.H. [48], Уральцевой H.H. и Рожковской Т.Н. [49], Хлуднева А.М. [50], Чеботарева А.Ю. [51],
Лапина A.B. и Игнатьевой М.А. [52], Лапина A.B., Лайтинена Е. и Пиеска Д. [53] и многих других.
В вариационной постановке формулируются такие задачи, как задача об упруго-пластическом кручении стержня, контактные задачи теории упругости, задача о течении вязкопластических сред, задача о препятствии, задачи теории пластичности и другие.

На первом шаге метода Удзавы возникает вспомогательная задача
Задача (2.1) решается с помощью метода конечных элементов в предположении, что ОеЛ2 - ограниченный многоугольник. Реализуем алгоритм (1), (и) с помощью метода конечных элементов на регулярной последовательности триангуляций области О при кк —> 0 ( -
параметр триангуляции /у) (см. [1, стр. 24]). Обозначим 2УЛ - множество узлов ; Мь = Г п - линейная оболочка соответствующих кусочно-
аффинных базисных функций <р„1 = 1,...,|уа I, - количество узлов Nhi, 1К - множество индексов узлов триангуляции, /;,4 - множество индексов граничных узлов. Отметим, что так как О - многоугольник, обеспечено включение УК сЖ,‘(Ц), к = 0,1,2
Получаем конечно-элементную задачу
Введем обозначения: йк - решение задачи (2.1), иК - решение задачи (2.2).
Предположим теперь, что, как и в [4], последовательность удовлетворяет условиям (А), (В). В двумерном случае пространство 1Р22(0) вкладывается в 0(0.). Пусть м/+1 обозначает кусочно-линейное восполнение точного решения задачи (2.1), то есть йк+1 = ^ , где
ср1 - соответствующие кусочно-аффинные базисные функции к -го шага.
(2.2)
Имеем