Классические полиномы и интегрирование по методу Монте-Карло

• Автор: Бабаев, Абдурасул
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ташкент
• Количество страниц: 134 c. : ил

ГЛАВА I. Оценки погрешности приближения функций полиномиальными операторами
§ I. Постановка задачи и формулировка результатов
§ 2. Асимптотически наилучшее приближение непрерывных функций многих переменных операторами Бернштейна
§ 3. Неравномерная оценка погрешности приближения функций многих переменных операторами Бернштейна
§ 4. Оценки погрешности приближения другими операторами
Глава II. Аналиэ сложности некоторых алгоритмов
§ I. Постановка задачи и формулировка результатов
§ 2. Сложности одномерных алгоритмов
§ 3. Сложности многомерных алгоритмов
Глава III. Некоторые методы моделирования распределений
и анализ их сложности
ГЛАВА ІУ. Асимптотические оценки трудоемкостей способов "выделение главной части" (ВГЧ) и "существенная выборка" (СВ)
§ I. Постановка задачи и формулировка результатов
§ 2. Оценка трудоемкости способа ВГЧ
§ 3. Оценка трудоемкости способа СВ
§ 4. Одна модификация способа СВ
Численные эксперименты
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЯ

В связи с появившимися широкими возможностями применения ЭВМ в вычислительной практике за последние 20-30 лет произошло формирование и бурное развитие теории приближенного интегрирования. В этой области вычислительной математики нашли свои плодотворные применения методы функционального анализа и теории вероятностей, алгебры и теории чисел, геометрии и теории дифференциальных уравнений.
Довольно плодотворным оказалось применение вероятностно-статистических методов (методы Монте-Карло). Простейший вариант этого метода дает кубатурную формулу вида:

где л - независимые, равномерно-распределенные в единичном гиперкубе _п_ , точки. Удобство этого метода заключается в том, что в приведенной формуле можно брать достаточно большие N , т.к. все точки Xвычисляются по единому алгоритму, а порядок сходимости (по вероятности) не зависит от размерности (кратности интеграла) и равен /У для функций %(Х)£Ь2 • Формулам такого рода посвящены работы Н.С.Бахвалова, С.М.Ермакова, Й.М.Соболя, Н.Н.Ченцова и других.
Слабой стороной этого метода является сравнительно медленная сходимость, и гладкость функции при этом не способствует улучшению сходимости.
Но, существует несколько способов интегрирования,

называемые способами понижения дисперсии, которые оправдывают применение методов Монте-Карло наряду с другими куба-турными формулами с лучшей сходимостью. В частности, чаще других используются следующие способы:
- выделение главной части (ВГЧ);
- существенная выборка (СВ);
- понижение порядка интегрирования;
- расслоенная выборка;
- случайные квадратурные формулы и др.
Применение какого-либо способа понижения дисперсии
диктуется условиями задачи. Наиболее универсальными являются способы ВГЧ и СВ.
Критерием качества метода Монте-Карло является величина, называемая трудоемкостью применяемого метода и выражаемая формулой

где £ - время ЭВМ, затрачиваемое в среднем для получения
одного значения Щ ; - выборочная диспресия статистической оценки искомого решения (см. напр. [х2, с. 8^ ).
Вопросы, связанные с исследованием асимптотического поведения трудоемкости - наиболее естественного критерия качества методов Монте-Карло - являются актуальными и активно изучаются советскими и зарубежными учеными. Важность исследований в этой области обусловлено не только внутренними потребностями теории методов Монте-Карло, все более расширяющейся сферой их приложений к задачам прикладной математики,

Если выполняются многомерные условия типа (2.8) и (2.9), то (2.21) примет вид
(/) (1-2„) = 0(£л) » (2.22)

(2>23)
Теорема 2.7. Существует многомерный - алгоритм
, для которого
= <£ <> ■

Преимущество - алгоритма состоит в том, что
при вычислении (2.1) этим алгоритмом, вклад второго слагае-

МОГО В выражение 6П будет суммой 2_, + 4) (/) ()
i-l
вместо произведения
Теорема 2.8. Для многомерного алгоритма 8^ справедливо соотношение
У (8*) = О {£„) (2.25)
Теорема 2.9. Для многомерного алгоритма справедливо соотношение
У ( н*) =OfSn) (2.26)
Теорема 2.10. Для многомерного Р^ - алгоритма справедливо соотношение
а) (j> (Р„) ~Of6„) , (2.27)