Сферические полудизайны и кубатурные формулы для вычисления интегралов по сфере

• Автор: Котелина, Надежда Олеговна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Сыктывкар
• Количество страниц: 117 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава I. Сферические полудизайны
§ 1. Определения и свойства сферических полудизайнов
§ 2. 2-полудизайны и жёсткие фреймы
§ 3. Определения сферических дизайнов
§ 4. Неравенство Б. Б. Венкова и первое экстремальное свойство
сферических полудизайнов
§ 5. Пример сферического полудизайна: вершины икосаэдра
§ 6. Пример сферического полудизайна: вершины додекаэдра
§ 7. Полиномы Гегенбауэра и формула сложения
§ 8. Потенциалы В. А. Юдина и второе экстремальное свойство
сферических полудизайнов
§ 9. Неравенство Б. Б. Венкова с весами и взвешенные сферические полудизайны
§ 10. Несферические полудизайны
Глава II. Кубатурные формулы для вычисления ИНТеграЛОВ ПО Сфере
§ 11. Кубатурные формулы для вычисления интегралов по сфере .
§ 12. Кубатурные формулы степени точности
§ 13. Кубатурные формулы степени точности
§ 14. Кубатурные формулы степени точности
§ 15. Кубатурные формулы степени точности 11 и
Литература

Введение
Понятие сферического Ь-дизайна было введено Ф. Дельсартом. Й. Гё-тальсом, Й. Зайделем в 1977 г. (см. [43]). С тех пор Н. Н. Андреев. Б. Б. Венков. В. А. Юдин, Н. Слоан. Е. Боннаи занимались проблемами существования, строения и нахождения дизайнов заданного порядка на сфере с заданной размерностью. Сферические дизайны — это особый класс сферических кодов, т. е. конечных множеств точек на сфере й1"-1. Мотивом для их изучения послужило приближённое вычисление интегралов по сфере А"“1. Интеграл от алгебраического полинома степени не выше £ по сфере может быть вычислен как среднее от значений полинома в точках дизайна порядка Ь. Вопросы вычисления интегралов по сфере подробно освещены в книге И. П. Мысовских [26].
В диссертации вводятся множества точек на сфере, именуемые взвешенными сферическими полудизайнами. элементы которых можно брать в качестве узлов кубатурных формул для вычисления интегралов по сфере, а веса являются коэффициентами в этих формулах.
Целью диссертационной работы является:
1. Введение понятия сферического полудизайна и изучение свойств сферических полудизайнов.
2. Введение понятий взвешенного сферического полудизайна и несферического полудизайна. изучение их свойств.
3. Исследование связей между взвешенными сферическими полудизайнами и кубатурными формулами для вычисления интегралов по сфере.

Приведём краткий обзор содержания диссертации. Работа состоит из двух глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Нумерация параграфов сквозная. Ссылки на формулы и теоремы образуются из номера параграфа и номера формулы или теоремы в параграфе.
В первой главе диссертации рассматриваются сферические полуди-зайны и взвешенные сферические полудизайны. В первом параграфе изучаются свойства сферических полудизайнов. Понятие сферического полудизайна является новым и впервые появилось в работах Н. О. Ко-телиной, А. Б. Певного [21, 22].
Пусть заданы натуральные числа п ^ 2, т, Ь. причём Ь чётное. Используем скалярное произведение {х.у} = ху + ••• + хг,уп векторов х. у 6 М” и норму ||.т|| = у/(х, х).
Пусть задана система векторов Ф = {
У^[{уг,ж)]* = ЛЦжЦ*. х е М". (0.1)

Пусть 5"-1 = {х & М" | ||ж|] = 1} — единичная сфера в М".
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОЛ. Система векторов Ф = {ц>.,,,., <рт) С в'11 1, для которой существует константа А1 > 0 такая, что выполняется тождество (0.1), называется сферическим полудизайном порядка Ь.
В первом параграфе установлено следующее свойство сферических полудизайнов (см. [20]).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 0.1. Сферический Ь-полудизайн Ф = {<р.....
- (З(х)с13 = -У2яы (3.5)
оп У5«-1 т ^
для всех ПОЛИНОМОВ (5 (ж) степени не выше t.
В статье В. А. Юдина [31] доказывается, что определение 3.2 эквивалентно определению 3.1. Подробное доказательство можно найти в докладе Р. Е. Афонина, А. Б. Певного [4]. При чётных Ь для симметричных сферических (1 1)-дизайнов это следует из предложения 1.2, поскольку с каждым симметричным сферическим (£ + 1)-дизайном $2т. — {(Р1, . . . . <рт,—1Р1, ...,—(рш} связан сферический 1-полудизайн Ф, для которого существует кубатурная формула с узлами фт. — <Р, ..., —<дт, точная для всех полиномов степени не выше
£ + 1.
В этом параграфе также стоит упомянуть о проблеме существования сферических дизайнов. П. Сеймур, Т. Заславский в [52] доказали, что для произвольных п. 1 существуют сферические дизайны с достаточно большим количеством элементов т. то есть найдётся натуральное число М(пА) такое, что для любого натурального т ^ М(пА) существует сферический дизайн Ф = {<р...., 1рт} порядка С
ПРИМЕР 3.1. Система векторов Ф = {(1, 0,0), (0,1. 0), (0,0,1)} является сферическим 2-полудизайном. Это следует из тождества Варинга с константой Л2 = С2'гп — | • 3 = 1:

ж)]2 = х + х 4- х, х 6 М3.

Очевидно, что левая часть также равнах--х+х. Заметим, что векторы из Ф составляют половину вершин октаэдра, вписанного в 52. Отсюда следует, что система всех 6 вершин октаэдра является 3-дизайном.