Построение дискретных прозрачных граничных условий для анизотропных и неоднородных сред

• Автор: Подгорнова, Ольга Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 109 с. : ил.

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ НЕОТРАЖАЮЩИХ ГРАНИЧНЫХ
УСЛОВИЙ
1.1 Понятие неотражающих граничных условий
1.2 Обзор методов
1.2.1 Локальные условия
1.2.2 Идеально поглощающий слой (РМЬ)
1.2.3 Нелокальные условия
1.3 Пример построения прозрачных граничных условий
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНЫЕ ПРОЗРАЧНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ
УСЛОВИЯ (ДПГУ)
2.1 Модельные задачи
2.2 Точные ДПГУ
2.3 Пространственная аппроксимация ДПГУ
2.4 Аппроксимация ДПГУ по времени
2.4.1 Аппроксимация суммой экспонент
2.4.2 Алгоритм построения аппроксимации
2.4.3 Численный пример
2.5 Точность ДПГУ: типичное поведение ошибки
2.6 Вычислительные затраты на ДПГУ
2.7 Численное исследование: волновое уравнение в движущейся
среде
2.7.1 Дискретизация задачи
2.7.2 Параметры численного эксперимента
2.7.3 Результаты применения ДПГУ
2.7.4 Расчеты на большие времена
2.7.5 Апостериорная оценка точности
2.8 Численное исследование: волновое уравнение в слоистой
среде
2.9 Обсуждение результатов
ГЛАВА 3. ДПГУ СО СГЛАЖЕННЫМ ЯДРОМ
3.1 Описание задачи
3.2 Построение ДПГУ

3.3 Численное исследование
3.3.1 Параметры численного эксперимента
3.3.2 Ядро ДПГУ
3.3.3 Результаты применения ДПГУ
3.3.4 Выводы
3.4 Сравнение эффективности конечно-разностного и спектрального методов для вычисления ядра ДПГУ
3.4.1 Постановка задачи
3.4.2 Спектральная дискретизация
3.4.3 Свойства разложений по функциям Лагерра
3.4.4 Алгоритм решения в терминах коэффициентов ряда Лагерра
3.4.5 Сравнение эффективности
3.4.6 Выводы
ГЛАВА 4. ДВА ПРИМЕРА АНАЛИТИЧЕСКИХ ПРОЗРАЧНЫХ
ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
4.1 Аналитические ПГУ для одной задачи аэроакустики
4.1.1 Постановка задачи .'
4.1.2 Неотражающие граничные условия
4.1.3 Численные результаты
4.2 Аналитические ПГУ для линейной упругости в анизотропной среде
4.2.1 Постановка задачи
4.2.2 Построение ПГУ
4.2.3 Асимптотическое разложение граничного оператора
4.2.4 Свойства ПГУ
4.2.5 Частный случай ПГУ для изотропной среды
4.2.6 Аппроксимация ПГУ
4.2.7 Дискретизация ПГУ
4.2.8 Численные эксперименты
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ А. АППРОКСИМАЦИЯ ПАДЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ В. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛАГЕРРА
ПРИЛОЖЕНИЕ С. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ
РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ФУНКЦИЯМ ЛАГЕРРА
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Введение
Актуальность темы
Многие волновые процессы, описываемые уравнениями в частных производных, формулируются в неограниченном пространстве. Такие задачи возникают в аэроакустике, геофизике, микроэлектронике и многих других областях. Для возможности численного моделирования в большинстве случаев необходимо свести задачу к рассмотрению ограниченной расчетной области, для чего и используются неотражающие граничные условия на внешней искусственной границе вычислительной области.
Разработка неотражающих граничных условий для моделирования распространения волн в анизотропных и неоднородных средах является актуальной задачей, востребованной во многих современных приложениях. Под анизотропией понимается зависимость физических свойств вещества от направления. Типичным примером, таких сред, описываемых уравнениями, с постоянными коэффициентами, является анизотропная однородная упругая среда, где скорость распространения возмущений зависит от направления их распространения. Неоднородность среды означает зависимость коэффициентов уравнений от геометрического положения точки. В качестве примера можно привести упругую среду, состоящую из набора слоев с различными значениями физических параметров, являющуюся типичной моделью, используемой в геофизике. Отдельно каждый из слоев может быть изотропной средой, однако их комбинация приводит к сложному волновому процессу, где скорость распространения возмущений зависит от положения точки в пространстве.
Одним из основных требований, предъявляемых к численным моделям, является обеспечение высокой точности и устойчивости решения для больших времен моделирования, при одновременном ограничении на допустимые объем вычислений и памяти. Разработка численных алгоритмов с такими свойствами для решения задачи во внутренней области является активно развивающейся тематикой, в частности можно упомянуть аппарат спектральных и псевдоспектральных методов, разрывного метода Галеркина и спектральных конечных элементов. Разработка неотражающих граничных условий, удовлетворяющих аналогичным требованиям по скорости, точности и широте класса рассматриваемых задач, должна идти параллельно с разработкой

руется на некотором значении, роста погрешности не происходит, но машинная точность на начальном отрезке теряется (линия В). Как можно заметить из приведенных графиков, погрешность аппроксимации из [25] на участке, где растущие экспоненты еще не сказываются, не лучше чем точность аппроксимации после исключения растущих слагаемых (150 < р < 200). Тем самым, исключив растущие экспоненты, мы избавились от неустойчивости на больших временах и не ухудшили точность на средних временах.
(а) (б)
Рис. 2.6: (а) Абсолютная величина , п = 6, £ = 10 в зависимости от
р = 0,1
при использовании всех получаемых экспонент (А) и при исключении растущих экспонент (В). Результаты приведены для сетки б2 (см. 2.7.2 для значений параметров эксперимента).
2.5 Точность ДПГУ: типичное поведение ошибки
В этом параграфе мы описываем способ измерения погрешности граничных условий и ее типичное поведение в зависимости от времени.
Для заданной сетки Тгх£2Л и интервала моделирования [0,Г] мы вычисляем два решения, одно (/ - в расширенной области {(г,ср): г < 11ЕХГ} с однородными условиями Дирихле на границе г = КЕХТ, другое ивтвс - в области интереса |(г,):г<Лг| с условиями ДПГУ на границе г = Яг. Положение границы г = ЯЕХТ, выбирается таким образом, что отражения от нее не достигают области интереса за время Т. В качестве эталонного решения иКЕЕ, относительно которого вычисляется точность, рассматривается решение, вычисленное в расширенной области на очень подробной сетке, так чтобы