Равномерные численные методы для некоторых сингулярно возмущенных задач

• Автор: Жемухов, Умар Хазреталиевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 75 с. : ил.

Оглавление

Введение
Глава 1. Сеточная аппроксимация смешанной краевой задачи для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения с характеристическими слоями и угловыми особенностями
1.1. Постановка дифференциальной задачи
1.2. Разностная схема на кусочно-равномерной сетке
1.3. Оценка погрешности при малых значениях параметра
1.4. Оценка погрешности при не слишком малых значениях параметра
1.5. Численные результаты
Глава 2. Оценка сходимости численного решения для уравнения теплопроводности на отрезке при ограниченной гладкости решения в окрестности угловой точки
2.1. Свойства решения и производных дифференциальной задачи .
2.2. Сеточная функция Грина и ее оценки
2.3. Оценка погрешности аппроксимации и сходимость
2.4. Численные результаты
Глава 3. Равномерная оценка погрешности неявной четырехточечной разностной схемы для сингулярно возмущенного уравнения теплопроводности с угловыми особенностями
3.1. Постановки дифференциальной и разностной задач
3.2. Декомпозиция решения и оценки производных
3.3. Оценка погрешности сеточного решения
3.4. Численные результаты
Список литературы

Введение
При исследовании многих процессов в физике, химии, биологии, технике и других областях науки, где имеются неравномерные переходы от одних физических характеристик к другим, часто возникают задачи, описываемые сингулярно возмущенными уравнениями, т.е. уравнениями с малыми параметрами при старших производных. Характерной чертой сингулярно возмущенных уравнений является то, что их решения имеют в областях, где они определены, особые узкие зоны (пограничные слои), в которых происходит резкий переход от одного устойчивого состояния к другому или к заданным граничным значениям. Такие ситуации возникают, например, в задачах гидродинамики, связанных с решением уравнений Навье-Стокса при малой вязкости или же в задачах газовой динамики, когда в окрестности ударных волн газ переходит из дозвукового в сверхзвуковое состояние. Для химических реакций также типичен быстрый переход из одного состояния в другое. В биологиии подобные резкие изменения происходят в популяционной генетике. Примером, где малый параметр естественным образом входит при главной части дифференциального оператора, является уравнение Шредингера, в котором в роли малого параметра выступает величина кванта действия. Если эту величину устремить к нулю, то некоторые законы квантовой механики переходят в законы классической механики.
Основоположником теории пограничного слоя считается немецкий физик и механик Людвиг Прандтль (Lнdwig РгапсШ), который в 1904 г. в своем докладе ‘’О движении жидкости при очень малом трении,’' прочитанном на Международном математическом конгрессе в г. Гейдельберге, дал объяснение тому, каким образом малые силы вязкости оказывают существенное влияние на характер движения жидкости и показал, что течение в окрестности тела можно разделить па две области: на область очень тонкого слоя вблизи тела (пограничный слой), где трение играет существенную роль, и на область вне этого слоя, где трением можно пренебрегать. Впоследствии эта гипотеза дала мощный толчок к дальнейшему развитию теоретических исследований.
Математическое обоснование явления пограничного слоя состоит в том, что при е —> 0 решение сингулярно возмущенной краевой задачи стремится к решению вырожденной (е=0) задачи на всем множестве определения, за исключением малой окрестности границы области. Так как порядок вырожденного уравнения ниже, как минимум, на единицу, чем порядок исходного уравнения, то часть граничных условий оказывается лишней применительно к вырожденной задаче и эти неиспользованные условия приводят к быстрому переходу решения от значений внутри области к граничным значениям, что способствует появлению в окрестности границы так называемых пограничных слоев, где производные решения сингулярно возмущенного уравнения не являются

ограниченными равномерно по малому параметру. Достаточно много примеров, иллюстрирующих сказанное, можно найти в работах [23, 63, 76, 79].
На ранних стадиях исследования сингулярно возмущенных уравнений в частных производных, когда численные методы еще не имели такого развития, как в последние годы, существенную роль в построении приближенных решений, а также в изучении структуры решения играли асимптотические методы. Эти методы и в настоящее время не утратили своей роли и продолжают оставаться важным аппаратом для исследования свойств решений уравнений с малыми параметрами. Существуют разновидности асимптотических методов, такие как метод Люстерника-Вишика и основанные на нем [13, 14, 15, 16], а также его обобщение [47], метод внутренних и внешних разложений [31, 32] и метод, изложенный в [37], основанный на регуляризации исходной задачи. Кроме перечисленных, также отметим серию работ [66, 86, 87, 88] по асимптотическим разложениям для параболических уравнений с угловыми особенностями, появившихся относительно недавно.
Теории пограничного слоя посвящено большое количество работ, среди которых отметим, ставшие уже классическими, работы [12, 39, 40, 50]. Достаточно подробный обзор, посвященный сингулярно возмущенным уравнениям в частных производных, охватывающий период 1980— 2000 гг. дается в [69], а в работах [70, 81] приводится обзор по вычислительным методам для различных классов сингулярно возмущенных задач.
Из-за наличия пограничных слоев классические сеточные методы малоэффективны для численного решения сингулярно возмущенных краевых задач. Это объясняется тем, что производные, входящие в оценку погрешности аппроксимации, зависят от малого параметра и не являются ограниченными при е —> 0 вблизи границы. Приближенные решения, полученные с помощью таких методов на равномерных сетках, плохо аппроксимируют (см. [23, 74, 76, 81]) при малых значениях параметра решения исходных задач или вовсе не сходятся к точному решению.
Поэтому для сингулярно возмущенных краевых задач возникает проблема разработки специальных сеточных методов, обладающих свойством равномерной по параметру сходимости. На пути создания таких методов сложились два направления: использование так называеемых подгоночных схем на равномерных сетках и построение специальным образом сгущающихся в области погранслоя сеток. В первом случае равномерная сходимость обеспечивается за счет выбора коэффициентов (они подгоняются, с учетом информации о погранслойных составляющих решения дифференциальной задачи) разностных уравнений. Такая схема была предложена независимо в работах [31] и [58], причем в первой из них было дано строгое обоснование схемы. Подгоночные методы широко применяются при решении обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [11, 23, 72]). В работах [24, 25, 52, 53] с помощью метода подгонки

Угловой слой
Рассмотрим в Г2*г дискретную функцию углового слоя «/(?,,,. В указанной области разностная задача дня w2lJ не отличается от той, которая приводится в предыдущем разделе. Поэтому, используя выражения погрешности аппроксимации (1.15), (1.17), оценки производных (1.8) при к = 2 и неравенства
Как и прежде, чтобы получить приемлемую оценку погрешности аппроксимации на множестве узлов {х, > 1 — Ьг/л/З, У = 2/1}, используется само уравнение и теорема Лагранжа о среднем значении. Учитывая, что и для т!/ справедливо равенство, аналогичное (1.61), и применяя оценки производных (1.8), получим недостающую оценку
r2’n,iJ
^/(1 - Хг)2 + rf > при {у3 > 2f)2} и {1 - Хг >

Г*2т7,г0 > ï)l при 0 < I < N,
получаем оценку погрешности аппроксимации разностной схемы
N-2 ln2 N eN~2 ln2 N
N~21п'

^ 2n.ij
Г2„, r2v,tj > £, (Хг,У]) 6 Q.^2düh,
N~3n3N

?~2£,i0> Т2т7,гО > £
|ги2(^/2,У,) - 2,JV/2j| = 0{N 2), |w2(l,%) “ 4.N, | = О, w2(x„yN/4) - 2лм/а = 0(N~2),
0 Заметим, что здесь, в отличие от случая малых е, не удается в оценке погрешности аппроксимации уравнения избавиться от угловой особенности.