Адаптивные дискретно-стохастические алгоритмы численного интегрирования

• Автор: Каблукова, Евгения Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 80 с.

Оглавление
Введение

0.1. Детерминированные и стохастические кубатурные формулы

0.2. Дискретно-стохастические методы численного интегрирования.

Формулы Бахвалова и теория сложности

0.3. Цель и структура диссертации

0.4. О публикациях по теме диссертации

0.5. Краткое описание рассматриваемых в диссертации численных схем

0.6. Тестирование алгоритмов численного интегрирования

0.7. Апробация работы

Глава 1. Дискретно-стохастические несмещенные оценки в алгоритмах

численного интегрирования
1.1. Использование функциональных базисов в методах Монте-Карло
1.1.1. Моделирование случайных величин
1.1.2. Функциональные оценки
1.1.3. Выбор функционального базиса
1.1.4. Моделируемость аппроксимации Стренга-Фикса
1.1.5. Моделируемость аппроксимации Бернштейна
1.2. Дискретно-стохастические методы уменьшения дисперсии
1.2.1. Дискретно-стохастическая версия метода выборки по важности
1.2.2. Дискретно-стохастическая версия метода выделения главной части
1.2.3. Сложная многомерная симметризация
1.2.4. Дискретно-стохастическая версия метода выборки по группам
1.3. Двусторонний геометрический метод Монте-Карло
1.3.1. Геометрический метод И. М. Соболя
1.3.2. Модификация геометрического метода
1.3.3. Дискретно-стохастическая версия двустороннего геометрического метода
Глава 2. Дискретно-стохастические состоятельные и асимптотически
несмещенные оценки в алгоритмах численного интегрирования
2.1. Дискретно-стохастическая версия метода взвешенной равномерной выборки
2.1.1. Лемма о состоятельных оценках
2.1.2. Взвешенная равномерная выборка
2.1.3. Использование аппроксимации Стренга-Фикса
2.1.4. Зависимость дисперсии от шага сетки
2.1.5. Построение доверительных границ и оптимизация оценки вп '
2.1.6. Результаты тестовых численных экспериментов
2.2. Дискретно-стохастическая версия метода Монте-Карло с поправочным множителем
2.2.1. Оценка с поправочным множителем
2.2.2. Приближение оптимального множителя. Зависимость смещения и дисперсии от шага сетки
2.2.3. Построение доверительных границ и оптимизация оценки
2.2.4. Результаты тестовых численных экспериментов

2.3. Рандомизация метода последовательных приближений
2.3.1. Итерационный процесс с интегральным оператором
2.3.2. Приближения функционала
2.3.3. Тестовая задача
2.3.4. Использование специального функционала
2.3.5. Пример согласованного выбора параметров
Глава 3. Стохастическая тестовая система функций
3.1. Преобразования спектральных моделей случайных полей
3.1.1. Численные спектральные модели гауссовских случайных полей
3.1.2. Тестовая спектральная модель
3.1.3. Преобразования гауссовских моделей: использование функций
многих переменных
3.1.4. Использование комбинаций со случайными величинами
3.1.5. Функциональная сходимость преобразованных моделей
3.1.6. Группировка слагаемых в моделируемой сумме
3.2. Тестовая система функций
3.2.1. Использование модельных траекторий случайных функций
3.2.2. Выполнение требований (0.1а)-(0.1д)
3.3. Средние оценки погрешностей простейших квадратурных формул
Заключение
Литература

Введение
0.1. Детерминированные и стохастические кубатурные формулы. С развитием вычислительной техники возрастает интерес к численным методам решения прикладных задач. Математическое описание исследуемого процесса сводится, как правило, к рассмотрению неизвестной функции многих переменных, для которой записывается система дифференциальных уравнений (см., например, [1]). Одним из способов приближенного решения этой системы является построение разностной схемы и сведение задачи к решению системы линейных уравнений для значений неизвестной функции в узлах сетки (см., например, [2-4]). Часто также оказывается целесообразным сведение (или постановка) задачи к интегральной форме, когда исследуемая функция представляет собой многократный интеграл, зависящий от параметра, или является решением интегрального уравнения (см., например, [1]). В последнем случае при возникновении интегрального уравнения Фредгольма второго рода соответствующий интегральный оператор предполагается сжимающим, и решение записывается в виде ряда Неймана, представляющего собой сумму параметрических интегралов бесконечно возрастающей кратности (см., например, [о]). Далее используются численные методы приближенного вычисления получаемых многократных интегралов на ЭВМ. При разработке этих методов решается
ЗАДАЧА 0.1. Построить алгоритм вычисления интеграла
здесь X - замыкание тех х Є Я1, для которых д(х) ф=- 0.
Для интегралов I малых размерностей I с гладкими (в обычном или обобщенном смыслах) подынтегральными функциями д и относительно простыми областями интегрирования X развита теория квадратурных (для случая I — 1) и кубатурных (для / > 1) формул (см., например, [4, 6]). Кубатурная формула в общем случае имеет вид
где {х1
Оптимальный выбор узлов и весов связан с минимизацией погрешности <5„
и основан (явно или неявно) на использовании аппроксимаций подынтегральной функции д. Главным достоинством кубатурных формул является возможность получения гарантированной и сравнительно быстрой сходимости 5п к нулю при п оо для классов гладких подынтегральных функций д.
К недостаткам «классических» (детерминированных) кубатурных формул на классах подынтегральных функций следует отнести:
- слабый учет специфики той или иной подынтегральной функции;
- необходимость разработки специальных численных алгоритмов поиска оптимальных весов и (или) узлов;
- чувствительность к росту размерности и к гладкости начальных данных (подынтегральной функции д и области X);
(0.1)

(0.2)

По результатам этой серии расчетов можно сформулировать следующие выводы.
1. При малых А (т. е. в случае когда подынтегральная функция д — д является гладкой) погрешность метода Бахвалова (алг. 3) значительно меньше погрешности метода прямоугольников (алг. 4) и слоысной симметризации (алг. 1А и 1Б). Для сильно осцилирующих подынтегральных функций (т. е. для больших А) порядок погрешности алгоритма 1.9 совпадает с порядком погрешностей остальных исследуемых методов.
2. С увеличением числа N пар симметричных точек в каждой подобласти погрешность выборки по группам (алг. 2) увеличивается. У метода сложной симметризации (алг. 1к) при малых размерностях (I < 4) сростом N погрешность возрастает, а для размерностей I > 5 уменьшается. Это соответствует теоретическим рассуждениям подразд. 1.2.3.
3. Погрешности метода прямоугольников (алг. 4) и слооюной симметризации (алг. 1А и 1В; сравнимы по порядку (что также подтверждает теорию).
4- Вновь подтверждена правильность соотношений типа (1.52) и (1.61), отраоюа-ющих зависилюсть выборочных дисперсий расслштриваемых алгоритмов от параметров К и А (для случая применения подынтегральных функций д из стохастической тестовой системы (3.21)). Замечено также, что с ростом параметра А погрешность всех лттодов увеличивается.
5. Замечена существенная зависимость эффективности рассматриваемых алгоритмов от использования различных дат'чиков стандартных случайных чисел. Обнаружилось, в частности, увеличение времени вычисления при использовании длиннопериодного датчика случайных чисел. Особенно существенным это увеличение оказалось для алг. 3, в которолг используется большое количество случайных чисел. Для вычисления шестикратного интеграла с М = 206 врелья работы алг. 3 с «классическим» датчикол1 с периодом Ь = 238 равно 118 с, а с периодом Ь — 2126 равно 143 с. Для метода сложной силшетризации соответствующая разница времен составляет примерно одну секунду.
II !“ II N3 з II ю о “
л алг. 1А N = 100 алг. 1Б алг. 2 N = 100 алг. 3 алг
1 1.2- 10~7 2.5 10~8 3.7 10_1° Н-1 О 1 1.8-10"8
10 4.0 10-4 2.0 10~5 5.0 10“5 1 О гН р 1.7 10~5
100 7.8 10~2 1.7-10-3 1.1 10~2 п 1 О т-Н I О СО 1.3 10~3
К = 3, 1 = 5
Л п алг. 1А N = 32 алг. 1Б алг. 2 N = 32 алг. 3 алг
1 2 205 2.0 10—1 1 О Т“Н О со 1.8 10-ь 2.3 10~7 6.0 ю~4
10 2 405 7.0 Ю-1 7.0 10“1 2.2 10“1 1.2 10-1 5.4-10~1
20 2 405 5.5 КГ1 3.2-10° 5.9 10~4
Случай 1 = 6, К = 3, А = 1, п = 2 206
алг. 1А N = 8 алг. 1А N = 64 алг. 1Б алг. 2 N = 64 алг. 3 алг
1 О г—1 О СО 7.1 10-5 2.9 10~4 4.6-10~7 4.2 10“8 1.8 10~4
ТАБЛИЦА 1.4. Сравнительные вычисления для метода сложной симметризации.