Проекционно-сеточные методы для решения нелинейных эллиптических задач с дифференциальными операторами векторного анализа

• Автор: Юлдашев, Олег Ирикевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Дубна
• Количество страниц: 340 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Проекционно-сеточные методы решения краевых задач для векторов с интегральными граничными условиями, точно учитывающими убывание решения на бесконечности
1.1 Теорема о компонентах непрерывно-дифференцируемого вектора и её следствия
1.2 Интегральное уравнение для векторного потенциала
1.2.1. Исследование уравнения (1.2.1) в пространстве Н(го1,С)
1.2.2. Решение уравнения (1-2.1) методом Галёркина
1.3 Интегральное уравнение для скалярного потенциала
1.3.1. Свойства интегрального оператора и производной Фреше для скалярного потенциала
1.3.2. Метод Галёркина для уравнения (1.3.1)
1.4 Комбинированные формулировки для задачи (1.1.9)
1.4.1. Комбинированные формулировки и введение дополнительного вектора
1.4.2. Проекционная формулировка задачи (1.4.10),(1.4.13)
1.4.3. Пример расчёта плоскопараллельных магнитных полей с помощью комбинированной формулировки

Глава 2. Проекционно-сеточные схемы для решения краевых задач с дифференциальными операторами первого порядка в дивергентных и вихревых формах относительно вектор-функций
2.1 Векторные узловые конечно-элементные базисные функции из
специальных гильбертовых пространств
2.1.1. Общие свойства гармонических конечно-элементных базисных функций
2.1.2. Гармонические конечные элементы в И
2.1.3. Конечно-элементные базисные функции из пространств
г(П), У(Г2), и{П)
2.1.4. Примеры сходимости интерполяций для гармонических конечно-элементных базисных функций
2.1.5. Проекционно-сеточные схемы для линейных задач с конечными элементами без внутренних узлов
2.2 Обобщённые формулировки использующие градиенты
квадратичных функционалов для нелинейных задач
2.2.1. Система с нелинейным уравнением в дивергентной форме
2.2.2. Система с нелинейным уравнением в вихревой форме
2.3 Проекционно-сеточные схемы относительно вектор-функций,
использующие базис из пространств 14(0), ^7(0)
2.3.1. Общие свойства проекционно-сеточных схем, использующих базис из пространства V(О)
2.3.2. Проекционно-сеточная схема для решения нелинейной краевой задаче с внутренней границей
2.3.3. Решение относительно векторного потенциала нелинейной краевой задачи с внутренней границей

Глава 3. Алгоритмы с контролем точности вычислений для
решения задач магнитостатики
3.1 Проекционно-сеточный метод и адаптивный алгоритм вычисления функции на липшицевой границе трёхмерного тела по заданному градиенту
3.1.1. Проекционно-сеточный метод
3.1.2. Адаптивный алгоритм для решения системы (3.1.12)
3.1.3. Применение проекционного метода и адаптивного алгоритма в магнитостатике
3.2 Формулы, характеризующие численную погрешность в зависимости от невязки уравнений с операторами дивергенция и ротор
3.2.1. Формулы, связывающие численную погрешность с невязками уравнений с операторами дивергенция и ротор
3.2.2. Характеристика функции магнитного поля, основанной на данных измерений
3.3 Методы решения задачи формирования однородного магнитного поля
3.3.1. Итерационный процесс уточнения поверхности ферромагнетика для получения высокооднородного магнитного поля
3.3.2. Повышение однородности магнитного поля на примере линейного индукционного ускорителя
3.4 Алгоритм построения компьютерных моделей анализирующих магнитов спектрометров с контролем точности
3.4.1. Аналитическая оценка ампер-витков, длины магнита и толщины ярма

где J}n - m-мерное линейное подпространство в J1(S7) с нормой, индуцированной из J1(0), базисом щ, ...,ит, и
га г=
Из теорем общей теории для эллиптических задач с монотонными операторами следует существование единственного решения уравнения (15) и сходимость приближённого решения к точному решению уравнения, а также локальная сходимость итерационного процесса метода Ньютона.
Из определения нормы 71 следует, что уравнение (15) эквивалентно удобной для численной реализации комбинированной т-мерной системе
mV X Ат • V X й
dx + J п ■ V X йг J ~;(Ujrn ■ n)dSydSx =
= J (nx иг) ■ V x AjdS, i = 1, 2, ...m; г
здесь UJm = (1 - Pjmv)V x Arn, а проекция PjrnuV x Am находится из специального уравнения. Jm - конечномерное подпространство в пространстве J = {й : и € (ТАП))3, V • й — 0}.
В § 1.3 исследуется интегральное уравнение для скалярного потенциала. В случае, когда F = 0, в задаче (14) можно ввести скалярный потенциал ip по формуле Z — Vyj. Он удовлетворяет уравнению
ТМ = 4>{х) + ^ У U{ip) • х е fl. (17)

Здесь U(, a tp/ - заданная функция, tpf 6 ^(О). Предполагается, что 1 < к < к*, к* = const.
Пусть G'i(H) - гильбертово пространство: Gn(fJ) = {и : и = Чф,ф G И/21(П)}, через Aq : C?i(fi) —*■ Gi(f2) обозначим интегральный оператор
(И0й')(ж) = V f u-V-^dy.