Исследование и оценки погрешности некоторых методов регуляризации линейных операторных уравнений и их приложения

• Автор: Бредихина, Анна Борисовна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 117 с.

Содержание
Введение

1 Модуль непрерывности обратного оператора и понятие метода

1.1 Модуль непрерывности и его свойства

1.2 Понятие метода решения условнокорректной задачи

2 Методы Лаврентьева приближенного решения линейных операторных уравнений первого рода

2.1 Метод М.М. Лаврентьева с выбором параметра регуляризации по схеме

В.Н. Страхова

2.2 Оптимальный метод Лаврентьева решения уравнений

с приближенно заданными правой частью и оператором

3 Методы проекционной регуляризации приближенного решения линейных операторных уравнений
3.1 Метод проекционной регуляризации с выбором параметра регуляризации по схеме М.М. Лаврентьева
3.2 Метод проекционной регуляризации с выбором параметра регуляризации по схеме В. Н. Страхова
3.3 Метод проекционной регуляризации с выбором параметра регуляризации из принципа невязки

4 Приложение численных методов Лаврентьева и проекционной регуляризации к решению некоторых об-
ратных задач математической физики
4.1 Решение обратной задачи Коши для уравнения теплопроводности методом проекционной регуляризации с выбором параметра по схемам М. М. Лаврентьева
и В. Н. Страхова
4.2 Определение пространства Соболева с показателем (5 >
4.3 Задача Коши для уравнения Лапласа
4.4 Решение нелинейным методом проекционной регуляризации одной обратной задачи физики твердого тела
Список литературы

Введение
Постановка задачи.
Диссертация посвящена изучению методов решения обратных задач, которые как правило являются некорректными. В различных областях науки и техники, целью болыленства экспериментов является изучение свойств объектов или процессов либо принципиально недоступных для непосредственного наблюдения, либо связанных с очень большими затратами. В качестве примеров можно привести астрофизические эксперименты по изучению звезд, медицинские эксперименты, направленные на изучение внутренних органов человека, эксперименты по изучению внутреннего строения земли с целью поиска полезных ископаемых и многие другие. Характерной чертой возникающих при этом задач интерпретации результатов эксперимента является то, что исследователь должен сделать заключение о свойствах объекта или процесса по измеренным в результате эксперимента их косвенным проявлениям. Таким образом, речь идет о задачах, в которых требуется определить причины, если известны полученные в результате наблюдений следствия. Задачи такого типа естественно называть обратными. Решение подобных задач, состоящих в обращении причинно-следственных связей, как правило, связано с преодолением существенных трудностей, и успешный результат зависит как от количества и качества экспериментальной информации, так и совершенства методов ее обработки. Первый из указанных факторов представляет собой техническую

Построим оператор А0 следующим образом
{Ап-А0)и={Н^] ме“£* (2.2.11)
0 ; и € Ид-,
где Нд - ортогональное дополнение подпространства Но.
Таким образом, из (2.2.10) и (2.2.11) следует, что
Аь, — Ао = <р{Аь) и АоВд = Вь.А0, (2.2.12)
где ц> € Ф.
Пусть по € Но, |Ы| — г и ио = ВиЩ- Тогда из (2.2.9) и (2.2.10) будет следовать, что
ЦВ/^оЦ > г Сн(?е(6, /г)) - е. (2.2.13)
Из (2.2.9)—(2.2.11) и (2.2.13) следует, что
\{АН - Л0)ПЛдо|| > /г(1 - е)[г С?/г(сте(<5, /г)) - е]. (2.2.14)
Из (2.2.6), (2.2.9) и (2.2.10) следует, что
\AhBhVо|| < гСн{а£{8,К))о£{8,К) <
/г(1 - е)[г С/1(ст£((5, /1)) — е] + <5. (2.2.15)
Теперь оценим величину ||Ио5/(по||. Для этого заметим, что из
(2.2.11) следует
(Д/1 — Ао)Вну о = —-т—А^В^Уо, (2.2.16)

а из (2.2.16), что
||Д0^л«о|| = \AhBhVо|| - ||(Д/г - До)-В/^о||- (2.2.17)
Из (2.2.14), (2.2.15) и (2.2.17) следует, что
\А0Вку0\ < 5. (2.2.18)