Минимальные квадратурные и кубатурные формулы, точные для полиномов Хаара

• Автор: Кириллов, Кирилл Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 103 с. : ил

Оглавление
Введение

§0.1. О содержании диссертации

§0.2. Основные обозначения

Глава 1. Функции Хаара и Пг-сетки

§1.1. Определение и свойства функций Хаара

§1.2. Ряды Хаара

§1.3. Кубатурные формулы с узлами, образующими

Пг-сетку

Глава 2. Минимальные квадратурные формулы, точные

для полиномов Хаара

§2.1. Основные определения. Свойства ^-функций и
квадратурных формул, точных для полиномов Хаара
§2.2. Вспомогательные определения и леммы
§2.3. Нижние оценки числа узлов квадратурных формул,
обладающих сГсвойством
§2.4. Необходимые и достаточные условия минимальности
квадратурных формул, точных для полиномов Хаара
§2.5. Примеры
Глава 3. Минимальные кубатурные формулы, точные
для полиномов Хаара в двумерном случае
§3.1. Основные определения. Свойства дс-мономов

§3.2. Вывод простейших оценок числа узлов кубатурных
формул, точных для полиномов Хаара
§3.3. Вспомогательные определения и леммы
§3.4. Уточнение нижних оценок числа узлов кубатурных
формул, обладающих с?-свойством при с1 ^
§3.5. Примеры
§3.6. Построение минимальных кубатурных формул,
обладающих (7-свойством при <7^
Заключение
Библиографический список использованной литературы

ВВЕДЕНИЕ.
§0.1. О содержании диссертации.
Построение и исследование формул приближенного интегрирования вида

/ д(х 1,... ,хп)/(хи... ,хп)<1х1 ...<1хп а ‘=>
ведется со времен И. Ньютона. В данной формуле через и обозначена область интегрирования из д(хх,... , хп) — весовая функция, Р^. — точки из П, называемые узлами формулы, С к — коэффициенты при узлах Р^. (некоторые действительные числа), к — 1,... ,Ы. При п — 1 эти формулы носят называние квадратурных, а при п > 1 — кубатурных. Особый интерес в теории приближенного интегрирования вызывает задача построения таких формул вида (1), которые точно интегрируют некоторый заданный набор функций, используя наименьшее возможное число узлов. Эти формулы называются минимальными кубатурными (квадратурными) формулами, точными для функций из указанного набора. Минимизация числа узлов приводит к сокращению объема вычислений и, следовательно, к уменьшению машинной погрешности округлений. Следует отметить, что задача сокращения объема вычислений была и остается одной из самых актуальных в вычислительной математике.
При п = 1 для набора функций {/(ж)}, являющихся алгебраическими многочленами степеней не выше заданного числа <1, задача построения минимальных квадратурных формул решена полностью, причем в частном случае весовой функции д(х), тождественно равной 1, ее решил

ранга, образующих множества СД, С/г, С£г_1- Число узлов, содержащихся на множестве С/у, 7 = 1,..., г — 1, на единицу меньше количества об-
имеется ровно й — г + 1 узлов.
Обозначим через V объединение тех и только тех из двоичных отрезков (сС+ 1)-го ранга, образующих множество Суд, которые не содержатся ни в одном из множеств С/1,..., иг-1. Так как количество таких отрезков равно к + 1 — б, а множество V имеет менее к + 1 — 5 узлов, то число узлов, содержащихся на некотором множестве Суд.* С V, меньше количества отрезков (6 + 1)-го ранга, образующих Суд/. В силу леммы 6, на множестве 5р'д.' имеется хотя бы одна группа (/-обособленных узлов.
Таким образом, общее число групп (/-обособленных узлов, лежащих на множестве Суд, не меньше, чем г.
Лемма доказана.
Замечание 1. Ограничение Д ^ [^] обусловлено тем, что на множестве Суд, образованном двоичными отрезками (с/+1)-го ранга, каждый из которых содержит хотя бы один узел формулы, не может располагаться менее [^] узлов.
Лемма 8. Система, образованная всеми равенствами системы (7), которые содержат величины у'р,у'р+1,... ,у'р+к_1, такие, что точки Ср, £р+1,... Ср+к-1 образуют группу й-обособленных узлов формулы вида (1), разрешима относительно коэффициентов формулы при,этих узлах, и притом единственным образом, тогда и только тогда, когда
разующих его двоичных отрезков. Следовательно, на множестве 1^=1 ^