Приближенные методы решения параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области

• Автор: Михеева, Анна Игоревна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 124 с.

Оглавление
Основные обозначения
Введение
I Операторы точного штрафа
1 Постановка задачи
1.1 Пространства функций
1.2 Операторы. Примеры
1.3 Существование и единственность решения
1.4 Свойства операторов
1.5 Теорема сравнения и оценки устойчивости
2 Эквивалентные формулировки задачи (V)
2.1 Формулировка задачи в виде неравенства 2-го типа
2.2 Регулярность решения
2.3 Формулировка задачи в виде уравнения
3 Регуляризация задачи
3.1 Оценка точности в Ьоо^)
3.2 Оценка точности в 1^(0, Т V)
3.3 Уточнение оценки в случае регулярных задач
3.4 Метод штрафа
4 Устойчивость коинцидентного множества
4.1 Первая оценка устойчивости
4.2 Вторая оценка устойчивости

II Сеточные схемы МКЭ
1 Неявная схема Эйлера для абстрактного эволюционного неравенства
1.1 Априорные оценки
1.2 Существование решения. Оценка точности
2 Сеточные схемы на основе задачи (V)
2.1 Пространство конечных элементов
2.2 Метод прямых
2.3 Оценка точности метода прямых
2.4 Неявная сеточная схема. Оценка точности
2.5 Оценки погрешностей аппроксимации
3 Сеточные схемы на основе задач (’Ре) и (То)
3.1 Метод прямых. Оценка точности
3.2 Неявная сеточная схема. Оценка точности
Литература

Основные обозначения
Я множество всех вещественных чисел
яп п-мерное евклидово пространство
х-у скалярное произведение в Яп
|я| длина вектора в Яп, х2 — х ■ х
О ограниченная область евклидова пространства Яп
Г или дА — граница области П
п замыкание области Г2, Гі = !Г2 и Г
ААВ симметричная разность множеств А и В
шея п(В) п- мерная мера Лебега множества В
ихі обобщенная частная производная и по переменной хі
градиент скалярной функции и
и+ положительная часть функции и
и~ отрицательная часть функции и, и = и+ — и~
Д оператор Лапласа
(’> -)я скалярное произведение в гильбертовом пространстве Н
II-|к норма в пространстве V
ЬР{П) пространство Лебега измеримых на О, функций,
суммируемых со степенью р
с{Щ пространство функций непрерывных на О
Ск{ П) множество /с-раз дифференцируемых на П функций
П(П) множество оо-дифференцируемых финитных на £7 функций

Лемма 1.3 Пусть и € Уд такая, что и £ V. Тогда для всех € [О.Т] справедливо (11).
Доказательство. Напомним, что по определению
УУ = {«еХ2(0,Г;Я1(П)) : и' е V* = Т2(0, Г; Я“1^))}.
Это пространство является представителем пространств
ИДО, Г) - {и е Т2(0,Т;X) : и' € Ь2(0, Г; У)},
где X и У — два сепарабельных гильбертовых пространства, причем X вложено в У плотно и непрерывно (X = Н1{Д1), У = Я-1(Г2)). Пространство ИД0,Т), наделенное нормой графика, изучено в [27, гл. 1[. В частности, доказано, что непрерывно вложение ИДО, Т) с С'([0, Т\ [X, Уф/г) (теор. 3.1, с. 33), где [X, У] 1/2 — промежуточное (интерполяционное) пространство между X и У; Я = Ь2(&) — [ЯХ(П), Я-1(£1)ф/2 (лемма 12.1, с. 94); пространство Со°([0,Т];Х) плотно в ИД0,Т) (теор. 2.1, с. 24). Таким образом, вложение Уд С С([0, Т\Н) — непрерывно, а пространство Д = С“ ([О, Т], ЯДГ2)) плотно вложено в Уд. С учетом этих соображений обоснование равенства (11) проводится стандартно.
Действительно, пусть и £ Уд. Тогда найдется последовательность Д Э ип —> и при п —> оо, причем ип ^ 0 на У (т.е. и~ £ V), т.к. и ^ О на У (см. [27, теор. 2.1 с. 24], где ип определяется по и регуляризацией по переменной £). Поэтому (см. лемму 1.1):

У «ОО.^пОО) = I I дип^’^ и~(хД) дхсП =

= -^УУ= -^(1К(0Ия- 1К(5)Ия)' (12)

Поскольку отображение и —> и- непрерывно в V = Т2(0,Т; ЯДП)) (см., напр., [23, с. 99, леммы 4.4, 4.5]), то и~ —> и~ в V; благодаря непрерывному вложению >У С С([0,Г]; Я), также гф(£) —> н~(£) в Я для £ € [О, Г]. Поэтому, переходя к пределу в (12), получим требуемое. □