Итерационные методы решения задачи Стокса с переменной вязкостью

• Автор: Гриневич, Петр Петрович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Задача типа Стокса с переменной вязкостью
1.1. Постановка задачи
1.2. Неравенство Нечаса в весовой норме
1.3. Дискретизация задачи
1.4. Матричная постановка дискретной задачи
1.5. Итерационный метод решения СЛАУ
1.6. Оценка собственных значений и сходимость итерационных методов
Глава 2. Задача Бингама и задача мантийной конвекции
2.1. Постановка задачи Бингама
2.2. Регуляризованная задача Бингама
2.3. Нелинейный итерационный метод для задачи Бингама
2.4. Применение оценок на собственные значения к задаче течения среды Бингама в канале
2.5. Применение оценок на собственные значения к задаче мантийной конвекции
Глава 3. Численные эксперименты
3.1. Течение среды Бингама в канале
3.2. Течение среды Бингама в каверне
3.3. Задача моделирования мантийной конвекции
3.4. Выводы из численных экспериментов

Заключение
Литература
Введение
Решение многих современных прикладных задач приводит к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с седловой точкой. Характерной особенностью таких систем является знаконеопределенность. В симметричном случае имеются как положительные, так и отрицательные собственные значения. Подобные системы возникают, например, в теории динамических систем [37], в теории упругости [22, 28], в экономике [16, 32, 42], в теории оптимального управления [17, 18], при моделировании электромагнитных явлений [21, 54] и во многих других областях. Важной областью, требующей решения задач с седловой точкой, является численное решение линеаризованных уравнений Навье -Стокса, описывающих течение несжимаемой вязкой жидкости [38, 39, 55, 62, 63, 67]. Уравнения Навье-Стокса являются основными уравнениями гидродинамики и, соответственно, играют важную роль в современной науке. Отметим, что в ходе их решения, как правило, возникает необходимость проводить вычисления на мелких сетках, а значит решаемые системы имеют большую размерность. Знаконеопределенность делает процедуру выбора метода решения таких систем нетривиальной, так как многие эффективные методы решения СЛАУ, см., например, [58], пригодны только для систем с положительно определенной матрицей.
Уравнения Навье-Стокса во многих случаях хорошо описывают поведение жидкостей и газов. Однако, многие вещества в природе описываются моделями с переменным коэффициентом вязкости, зависящим от внешних факторов. Примером могут служить биологические жидкости (например, кровь), нефть, зубная паста, кетчуп, крахмал, разведенный в воде и многие другие вещества. В некоторых случаях, например,

гать, что д ф О, но выполнено условие (д, 1) = О, необходимое для совместности системы. Такая правая часть возникает в СЛАУ на каждой нелинейной итерации метода Пикара при решении задачи (1.1). Если проводить дискретизацию (1.2) методом конечных разностей, то матрица получается схожей по структуре. В качестве блоков А и В будут выступать матрицы, соответствующие операторам и У/,,
из (1.19)—(1.23). Вместо и и р будут не коэффициенты разложения по конечноэлементным базисам, а значения скорости и давления на сетках
Гй, £^2 и «з-
Подматрица А — симметричная и положительно определенная, однако матрица А целиком симметрична, но знаконеопределена. Решение системы (1.2) является наиболее трудоемкой операцией при решении нелинейной задачи, поэтому желательно использовать наиболее эффективный метод. Линейные задачи вида (1-24) принято называть задачами с седловой точкой [15]. Выбор метода решения таких СЛАУ не является тривиальным.
1.5. Итерационный метод решения СЛАУ
Настоящий раздел посвящен построению итерационного метода для решения дискретной задачи Стокса, основанного на применении пере-обуславливателя для дополнения по Шуру, учитывающего переменную вязкость. Обсуждается вопрос эффективности такого переобуславлива-теля в зависимости от отношения максимального значения вязкости к минимальному.
Идея решения системы (1.24) заключается в использовании какого-либо метода на подпространствах Крылова (например, MINR.ES [36]) со