Оценка погрешности кубатурных формул общего вида с пограничным слоем и узлами на решетке в пространстве Соболева Lmp(En)

• Автор: Цыренжапов, Нима Булатович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Улан-Удэ
• Количество страниц: 102 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
РАЗДЕЛ I. Линейные и периодические функционалы погрешности
1.1. Пространства Жт(Е ),Ьт(Е ), Шт(П), Ьт(П)
р п р п р р
1.2. Построение элементарных кубатурных формул общего вида
1.3. Построение кубатурной формулы общего вида с регулярным пограничным слоем при т — 3, п =
1.4. Общий вид финитного функционала погрешности
1.5. Оптимальный периодический функционал погрешности в
пространстве Ь (Е ^ )
1.6. Норма периодического функционала погрешности в пространстве
РАЗДЕЛ II Оценка нормы функционала погрешности в
пространстве Ь(Е^)
2.1. Оценка сверху нормы функционала погрешности в пространстве Соболева (Е^ )
2.2. Оценка снизу нормы функционала погрешности
в пространстве Соболева (Е^ )
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
Теория кубатурных формул сложилась как новое направление математики в 60-ые годы в результате исследования С.Л. Соболева и прочитанного им курса лекций по теории кубатурных формул в Новосибирском государственном университете в 1965-66 годах.
В связи с появлением в 1974 году монографии «Введение в теорию кубатурных формул» С.Л. Соболева, эта область математики, предметом которой является приближение интегралов формулами механических квадратур, превратилась из набора отдельных формул для вычисления интегралов в новую математическую дисциплину, тесно связанную с другими разделами математики: анализом, теорией функции, функциональным
анализом, теорией дифференциальных уравнений, алгеброй, теорией чисел.
В современном понимании проблема оптимизации формул численного интегрирования ставится как проблема отыскания минимума нормы функционала погрешности кубатурных формул в различных функциональных пространствах.
Отметим, что кубатурные формулы отличаются от одномерных двумя особенностями:
a) бесконечным многообразием многомерных областей интегрирования;
b) быстрым ростом числа узлов формулы с увеличением размерности пространства.
Быстрые темпы совершенствования вычислительной техники приводят к возможности решать все более сложные задачи, требующие увеличение объема памяти и скорости вычисления, во многих областях деятельности людей -научной, технической, организационной и т.д. При больших численных
расчетах становится полезным оптимизировать процесс приближенного вычисления интеграла. Поэтому важное значение имеет построение
асимптотически оптимальных кубатурных формул в различных функциональных пространствах.
В диссертационной работе основной целью является построение и обоснование асимптотической оптимальности кубатурных формул общего вида
в пространстве Соболева Lm(E ).

Для достижения цели ставятся задачи:
построение элементарных кубатурных формул общего вида; получение оптимального периодического функционала погрешности и явного вида коэффициентов оптимального
периодического функционала погрешности;
получение в явном виде нормы периодического функционала
погрешности в Ln^ (Е ^), выделение главного члена
периодического функционала погрешности.
Объектом исследования в данной работе служат формулы приближенного вычисления многомерных интегралов, в которых участвуют как значения самой функции, так и значения ее производных. Область интегрирования Q при этом ограничена кусочно-гладкой поверхностью конечной площади в «-.мерном евклидовом пространстве Е . В остальном она произвольна.
Рассмотрим следующий кратный интеграл
J
где (х) - характеристическая функция области £1, <р(х) е W (Е^ ), рт > п, р(т - |S|) > п.
Кратный интеграл (1) приближенно выражается суммой
Вместо значений функции в т х=2 возьмем значение производной в точке ближе к началу координат.

](р(хук » С^(р(0)+С^( 1) + С^р'() (1.2.10)
коэффициенты формулы (1.2.10) ищем из уравнения:
+ ^ + У2=С0+С1(1 + с1 + ^-) + С2(с1 + с12 + ‘!~) теперь приравниваем коэффициенты при с
С0 +С1 =
Сі+С2=І отсюда С0Л С1= §, С2=-

—І+Г =

}^>&*і^(0) + |^(1) + (-І]р'(1) (1-2.11)
Формула (1.2.11) точно интегрирует многочлен 2-ой степени.
Этот же пример можно решить по общему методу:
)
Коэффициенты формулы (1.2.10*) найдем из следующей системы:
1 1 аук~а
Z Z Са 2----------------------------= —-—, к = 0,1,
у = 0а = 0 У (* + 1)
(к - а)
где ук а
ук а, если к~а>0 „а л
' и С = 0 так, как он не участвует в

О, если к-а<0 формуле (1.2.10*)