Весовые алгоритмы метода мажорантной частоты для статистического моделирования решения пространственно-однородных нелинейных кинетических уравнений больцмановского типа

• Автор: Блощицына, Ольга Витальевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 87 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Решение интегральных уравнений методом Монте-Карло
1.1. Интегральные уравнения
1.2. Цепи Маркова. Весовые оценки
1.3. Дисперсии оценок
Глава 2. Весовые алгоритмы метода Монте-Карло для решения
нелинейного кинетического уравнения Больцмана
2.1. Уравнение Больцмана
2.2. Математическая модель многочастичной системы для решения уравнения Больцмана
2.3. Метод прямого статистического моделирования
2.4. Метод мажорантной частоты
2.5. Весовая модификация прямого статистического моделирования
2.5.1. Модификация фазового пространства
2.5.2. Построение базового интегрального уравнения
в модифицированном фазовом пространстве
2.5.3. Весовая модификация метода мажорантной частоты
2.6. Доказательство конечности дисперсии весовых оценок
2.7. Результаты численных расчетов
Глава 3. Весовой алгоритм метода Монте-Карло для решения
нелинейного уравнения коагуляции
3.1. Уравнение Смолуховского
3.2. Математическая модель системы с переменным количеством частиц
для решения уравнения Смолуховского
3.3. Метод прямого статистического моделирования
3.4. Метод мажорантной частоты
3.5. Весовая модификация прямого статистического моделирования -

3.5.1 Модификация фазового пространства
3.5.2. Построение базового интегрального уравнения
в модифицированном фазовом пространстве
3.5.3. Весовая модификация алгоритма мажорантной частоты
3.6. Доказательство конечности дисперсии весовых оценок
3.7. Результаты численных расчетов
Глава 4. Алгоритмы моделирования по ценности
4.1. Ценностное моделирование для кинетических уравнений
4.2. Ценностная весовая модификация метода мажорантной частоты для численного решения уравнения коагуляции
4.2.1 Результаты численных расчетов
4.3. Ценностная весовая модификация метода мажорантной частоты для численного решения уравнения Больцмана
4.3.1. Результаты численных расчетов
Заключение
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время развит целый ряд методов изучения кинетических процессов в газах, жидкостях, твердых телах и плазме. Метод вывода кинетических уравнений, их последующего анализа и решения с целью получения явных выражений кинетических коэффициентов, входящих в уравнения переноса до сих нор не утратил своей актуальности и успешно применяется для решения большого числа задач [1].
В кинетической теории газ описывается с помощью функции распределения, которая содержит информацию как о распределении самих молекул внутри рассматриваемой системы, так и о распределении молекулярных скоростей [2]. Функция распределения в общем случае изменяется со временем, и ее изменение для случая разреженного газа описывается интегро-дифференциальным уравнением Больцмана [3], [4]. Уравнение Больцмана лежит в основе кинетической теории газов и находит широкое применение при изучении таких явлений как перенос электронов в твердых телах и плазме, перенос нейтронов в ядерных реакторах, перенос фотонов в сверхтекучих жидкостях, перенос излучения [5]. В случае задач, связанных с рассмотрением процессов коагуляции (слипания) в газообразных или жидких средах, возникает необходимость решения нелинейного кинетического уравнения Смолуховского [6].
Нелинейное кинетическое уравнения Больцмана и нелинейное кинетическое уравнение Смолуховского называют нелинейными кинетическими уравнениями больцмановского типа из-за того, что они оба имеют одинаковый тип нелинейности. Их сложная нелинейная структура делает, в большинстве случаев, невозможным их аналическое решение. Поэтому един-

трудоёмкости моделирования цепи Маркова по числу модельных частиц. Однако, величина трудоёмкости зависит также от параметра метода мажорантной частоты М, увеличение которого приводит к её росту.
2.5.3. Весовая модификация метода мажоратной частоты
Введем расширенное фазовое пространство состояний системы £=(7г, т(7г), V), где 7г=(г,у) - номер пары взаимодействующих частиц, т(п) - тип столкновения (в случае реального столкновения т(7г)=1, в случае фиктивного столкновения 7тг(-7г)=0). Это приводит к расслоению распределения столкновений в системе как по номеру пары, так и по типу столкновения [16]. Данный прием позволяет сформулировать новое интегральное уравнение, структура ядра которого позволяет стандартным способом ввести весовые модификации прямого моделирования, поскольку содержит сингулярности лишь в виде сомножителей. Это уравнение имеет следующий вид:
где dZ=dm('Jт)d|J,■лdV, причем интегрирование по мере ш(я) означает суммирование по типам столкновения, а интегрирование по мере означает суммирование по всем различным парам 7г=(г,
Данное уравнение в операторной форме имеет вид: + іф, где К
- интегральный оператор с ядром
(2.25)

к(г'л'->г, ь) =
КхіЯ-їг) = Кт.(У'^Ужт(п')) ^ с£