Вейвлеты и фреймы в дискретном анализе

• Автор: Соловьева, Наталья Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 133 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава I. Вейвлеты в дискретном гармоническом
анализе
§1. Предварительные сведения
§2. Лифтинговое преобразование сигнала. Формула обращения
§3. Многоуровневое лифтинговое преобразование
§ 4. Лифтинговые разложения сигнала
§5. Двойственное лифтинговое преобразование.
Формула обращения
§ 6. Двойственные лифтинговые разложения сигнала
§ 7. Биортогональность прямого и двойственного базисов
§ 8. Описание множества управляющих функций
§9. Свойства базисных функций
Глава II. Конечномерные фреймы
§ 10. Эквивалентные определения жёстких фреймов
§11. Обобщённые гармонические фреймы
§ 12. Жёсткие фреймы специального вида
§ 13. Циклические фреймы
§ 14. Циклическое свойство фрейма Мерседес-Бенц
§ 15. Матрица фрейма
§ 16. Двойственные фреймы
Литература
Приложение. Факторизация полифазных матриц

Введение
Во многих направлениях вычислительной математики актуальны задачи поиска базисов, разложения по которым наилучшим в некотором смысле образом описывают элементы пространства. Широкое применение нашли вейвлетные базисы.
Общепринятый базис Фурье хорошо выделяет частоты, но не даёт информации о резких и коротких всплесках и вообще о локальном поведении функции. Желательно, чтобы элементы базиса были лучше локализованы по времени. Вейвлетные базисы удовлетворяют такому требованию. Часто накладываются и дополнительные условия, например, ортогональность базиса, компактность носителей вейвлетов и т. д.
Теория вейвлетов начала активно развиваться в 80~90-е годы двадцатого века. К настоящему времени опубликовано несколько монографий по теории вейвлетов, в том числе [2, 32, 33]. Работа [32] содержит изложение теории вейвлетов с точки зрения линейной алгебры. Классиками теории вейвлетов являются И. Мейер [48] и И. Добеши [2].
Одним из способов построения вейвлетных базисов является лифтии-говая схема, предложенная В. Свелдснсом [49 51]. Лифтинг означает изменение, «приподнимание» низкочастотной составляющей, несущей основную информацию об исходных данных. Величина изменения зависит от вейвлетной составляющей и управляющей функции. Отметим преимущества лифтинговой схемы. Во-первых, за счёт наличия управляющей функции можно влиять на свойства получаемых вейвлетов. Во-вторых, в алгоритме, реализующем лифтинговую схему разложения функции по вейвлетному базису, все вычисления проводятся «на месте», в од-

так что (6.8) можно переписать в виде
ея(°) = 7/52 ■

Отсюда следует вещественность е,,(0).
Так же, как в предложении 4.5, со ссылкой на формулы (5.4) и равенства суи = Д, проверяется чётность спектров Е„, D„ при всех и G 1 : s. Это гарантирует, в частности, вещественность векторов коэффициентов dv = УД^Д,), v 6 1 : s. □
§ 7. Биортогональность прямого и двойственного базисов
Оказывается, что базис (6.5) двойственного лифтингового разложения биортогонален базису прямого лифтингового разложения (4.7) при каждом t G 1 : s. Точнее, справедливо следующее утверждение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.1 ([4]). При любом и G 1 : s и любых целых I, т выполняются равенства
( ('■1)
{фи(- - 20),ф„(- - 2"т)) = ôN„(m - I),
(ф„(- - 2О), бру{- - 2vm)) = 0.
Доказательство. Введём обозначение Aim = {yv(- ~ 20), tpu(- — 2йт)). Учитывая, что
[•МЫ- - 20))] (к) = из-Н„{к),
[Ду(^(- - 2vm))]{k) = u~NlmHv{k),