Критерии устойчивости нелокальных разностных схем

• Автор: Мокин, Андрей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 108 с.

Оглавление
Введение
1 Согласованность норм при исследовании устойчивости задачи Самарского-Ионкина
1.1 Равномерная устойчивость начально-краевой задачи
1.2 Согласованность норм
2 Семейство начально-краевых задач для уравнения теплопроводности
2.1 Задача на собственные значения
2.2 Базисность систем собственных функций
2.3 Существование и единственность решения
2.4 Устойчивость но начальным данным
3 Разностные схемы для нелокальной краевой задачи
3.1 Построение разностной схемы
3.2 Спектральная задача для разностного оператора
3.3 Критерий равномерной устойчивости разностных схем
3.4 Устойчивость в срёднеквадратической норме
Литература

Введение
В работе рассматривается однопараметрическое семейство начально-краевых задач для уравнения теплопроводности, а также разностные схемы, аппроксимирующие эти задачи. Особенность начально-краевых задач заключается в специальном выборе граничных условий, которые не являются усиленно регулярными. Соответствующие разностные схемы не обладают свойством самосопряжённости. Основное внимание уделяется изучению устойчивости схем по начальным данным, а также выбору сеточных норм, в которых исследуется устойчивость.
Возникший в последнее время интерес к задачам с нелокальными дополнительными условиями объясняется наличием ряда приложений, обладающих существенной практической значимостью. Например, при изучении явления диффузии химических веществ возникает задача определения концентрации в каждый момент времени в рассматриваемом объёме. При этом известной величиной является лишь концентрация на поверхности сосуда. Для выделения единственного решения используются данные измерения общего количества вещества в заданной области. С технологической точки зрения эта величина удобна для измерения, так как может быть получена с помощью эффекта абсорбции света химическим веществом в растворе.
Другим приложением задач с нелокальными дополнительными условиями является изучение процесса нагрева проводника за счёт джоулева тепла, выделяемого под действием электрического тока. Предполагая, что один конец проводника недоступен для измерений, необходимо вычислить значение температуры в любой момент времени. Отсутствующее граничное условие заменяется нелокальным дополнительным условием, которое может быть получено, исходя из результатов измерения силы тока в цепи и напряжения на концах проводника.
Существует ряд задач управления, а также тесно связанный с ними ряд обратных задач математической физики, подчинённых нелокальным дополнительным условиям. К ним относится задача вычисления концентрации вещества на границе области с использованием дополнительной информации о полном количестве вещества внутри рассматриваемого объёма, а также задача о поддержании постоянным общего количества тепла в нагревающем элементе за счёт управления параметрами электрической цепи.
Прикладной характер задач с нелокальными условиями стимулировал их исследования специалистами в области дифференциальных уравнений. В результате сформировалось направление исследований, в рамках которого рассматривается вопрос корректности задач с неклассическими дополнительными условиями. Далее приводится краткий обзор некоторых работ, посвящённых изучению задач данного типа, а также численных методов их решения.

Работа [1] является одной из первых, где изучается задача теплопроводности с нелокальным дополнительным условием интегрального типа

J и(х, t)dx = E(t), 0 < t < Т, 0 < a(t) 1. (1)

Методом редукции к уравнению Вольтерра второго рода автор работы получил условия существования и единственности регулярного решения. Этот же метод исследования задачи теплопроводности с интегральным дополнительным условием спецификации масс использован в работе [2].
В работе [3] рассмотрена одномерная задача с нелокальным интегральным условием вида (1) для уравнения параболического типа в области с переменной границей. С помощью тепловых потенциалов двойного слоя данная задача редуцирована к системе интегральных уравнений с ядрами, имеющими слабую особенность. Воспользовавшись методом последовательных приближений для решения системы уравнений, автор работы доказал существование и единственность регулярного решения.
В работах [4], [5] исследована задача Стефана с нелокальным дополнительным условием спецификации энергии.
Некоторые задачи математической физики содержат нелокальные условия, которые связывают значение решения и, быть может, его производных не в какой-нибудь одной точке границы области, где решается задача, а в нескольких точках. Причём задействованные в нелокальном условии точки могут принадлежать не только границе, как в случае краевых условий, но и лежать внутри области. Интерес к задачам такого рода возникает, например, при изучении физических задач на самопересекаю-щихся или составных многообразиях. В работе [7] сформулирована общая постановка нелокальной многоточечной задачи для уравнения эллиптического типа, которая известна как задача Бицадзе-Самарского. Там же в частном случае доказано существование и единственность регулярного решения. Данная задача рассматривалась также в [8], [36]. Стационарный вариант одномерной задачи теплопроводности с условиями Бицадзе-Самарского первого и второго рода

и(0) = О, Ы(1) = О < < £2 < < < 1,
k=r! (2)
м(0) = 0, «'(1) = ъкищ), 0 < щ < Г)2 < ... < Г)п < 1.

изучен в работах [9], [10] соответственно, где доказана единственность решения, а также получены условия существования решения.
Работа [11] содержит исследования нелокальных параболических задач с дополнительными условиями интегрального типа, а также типа Бицадзе-Самарского. Рассмотрен как стационарный, так и нестационарный случай. Там же обсуждается нелокальная задача для нелинейного стационарного уравнения теплопроводности.
Существуют обобщенные постановки нелокальных задач. В работе [12] рассмотрена обобщённая задача для волнового уравнения с краевыми условиями Бицадзе-

11о(х,Ь), из которых следует устойчивость краевой задачи по начальным данным. Основная трудность применения метода разделения переменных заключалась в том, что система собственных функций дифференциального оператора второй производной, подчинённого краевым условиям (2.3) не образует базиса пространства 1,2 [0,1] и даже не является полной.
Задача для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями общего вида рассматривалась в работе [48]. В предположении усиленной регулярности краевых условий доказаны теоремы существования и единственности решения, а также устойчивости решения по начальным данным.
Краевые условия задачи (2.1),(2.2) не являются усиленно регулярными ни при каком вещественном а.
В настоящей главе доказана теорема существования и единственности решения иа(х,Ь) задачи (2.1),(2.2) при любом а ф 0. Исследована устойчивость задачи по начальным данным. Предварительно рассмотрена задача на собственные значения и собственные функции для оператора второй производной с краевыми условиями вида (2.2), изучен вопрос базисное™ системы собственных функций в пространстве Ьъ[0,1].
2.1 Задача на собственные значения
Рассмотрим оператор А второй производной с нелокальными краевыми условиями
(2.4)
Аи = —и", 0 х 1,
и(0) = 0, и'(0) = к'(1) + еш(1),
а также задачу на собственные значения и собственные функции для него
—и" — Хи, 0 х < 1,
•и(О) = 0, u'(0) = и'(1) + аи(1).
Решение этой задачи при а = 0 получено в работе [46] и имеет вид
Afc = (27Гк)2, гц(х) = sin 2тткх, к = 1,2
А0 = 0, и0(х) = х.
(2.5)
(2.6)
Множество собственных значений счётно, все собственные числа вещественные, неотрицательные и образуют бесконечно большую последовательность. Каждому собственному значению отвечает единственная с точностью до ненулевого множителя собственная функция.
Рассмотрим случай а =4 0. Будем искать собственные значения среди вещественных чисел. Отметим сразу, что А = 0 не является собственным значением, так как общее решение дифференциального уравнения задачи (2.5) в этом случае имеет вид и = ах+Ь, 0 < х < 1 и удовлетворяет краевым условиям задачи при а = Ъ = 0.
Предположим, что А > 0. Тогда общее решение дифференциального уравнения задачи (2.5) может быть записано как
и(х) = Ci cos /х + С-2 sin Vx. (2.7)