Приближенные методы решения начально-краевых задач для параболических уравнений в нецилиндрических областях

• Автор: Виноградова, Полина Витальевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 96 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

ГЛАВА 1. Метод Фаэдо - Галеркина приближенного

решения начально - краевых задач для параболических уравнений в областях с границей, зависящей от времени
§1. Постановка начально - краевой задачи для линейного параболического уравнения. Теорема существования . . 14 §2. О скорости сходимости метода Фаэдо - Галеркина для

линейного параболического уравнения

§3. О сходимости метода Фаэдо - Галеркина для

квазилинейных параболических уравнений

§4. Результаты численных экспериментов

ГЛАВА 2. Начально - краевая задача для двумерных уравнений Бюргерса в нецилиндрических областях
§1. Постановка начально - краевой задачи для системы
§3. Численная реализация метода сеток для системы
двумерных уравнений Бюргерса
§2. Теорема существования и единственности

уравнений Бюргерса

Литература

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Одними из наиболее важных методов исследования и приближенного решения краевых задач для линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, разных задач механики и т.д. являются методы, которые принято называть проекционными и проекционно - сеточными. Эти методы восходят к известным исследованиям И.Г. Бубнова [2], Б.Г. Галеркина [13], В.Ритца [81], H.H. Боголюбова [1], Н.М. Крылова [38], М.Б. Келдыша [31], Г.И. Петрова [48], [49], JI.B. Канторовича [27] и других авторов.
Современное изложение проекционных методов можно найти в книгах
С.Г. Михлина [42] - [44], М.А. Красносельского, Г.М. Вайникко, П.П. За-брейко, Я.Б. Рутицкого, В.Я. Стеценко [35], Г.И. Марчука, В.И. Агош-кова [41], Г.М. Вайникко [5], [6], X. Баевского, К. Грегера, К. Захариуса [12], Ж-П. Обэна [45], Р. Варги [8], R. Glowinski [75], К. Флетчера [63].
Для нестационарных уравнений метод Галеркина был обобщен С.Фаэдо [41], и в дальнейшем этот метод стал называться методом Фаэдо - Галеркина.
Как процесс доказательства существования решения метод Фаэдо -Галеркина использовался в работах М.И. Вишика [10], М.И. Вишика и O.A. Ладыженской [11], Ю.А. Дубинского [17], [18] и др.
Метод Фаэдо - Галеркина как численный метод для нестационарных уравнений изучался в работах Г.М. Вайникко, П.Э. Оя [7], М.А. Велиева [9], А.Г. Зарубина [21], [22], В.Р. Кардашова [29], П.Э. Оя [46], [47], С.В.
Поборчего [51], В.В. Смагина [54] - [57], П.К. Соболевского [58] - [60] и других, например, [3], [14], [20], [69], [76], [82].
Краевые задачи для уравнений параболического типа в области с границей, движущейся во времени, возникают в проблемах атомной энергетики и безопасности атомных реакторов [50], [79], [84]; при изучении процесса горения в твердотельных ракетных двигателях [19]; при использовании электрических разрядов, явления электрического взрыва проводников [52] и других задачах естествознания.
Начально - краевые задачи для различных классов нестационарных линейных и квазилинейных уравнений в нецилиндрических областях изучались с точки зрения доказательств теорем существования и единственности, например, в работах [15], [24] - [26], [32] - [34], [36], [37], [66]
- [68], [70] - [74], [77], [78], [80], [83].
Естественно поставить вопрос о нахождении приближенных решений таких задач. В связи с этим, представляются актуальными разработка и обоснование возможности применения итерационных и проекционных методов нахождения приближенного решения начально - краевых задач для линейных и квазилинейных уравнений параболического типа в областях, граница которых зависит от времени.
Цель работы. Получить следующие результаты:
- доказать разрешимость начально - краевых задач в пространствах
С.Л. Соболева для линейных и квазилинейных параболических уравнений высших порядков, а также разрешимость в пространствах Гельдера одной квазилинейной системы параболических уравнений в нецилиндрических областях;

Неравенства (1.2.28) и (1.2.29) позволяют получить оценку
где положительная постоянная М32 не зависит от п.
Известно (см. [65]), что для собственных чисел эллиптических операторов порядка (2т) в ограниченной области пространства Л® справедливо неравенство
Сп~ < п < Сп~>~, (1.2.31)
где С, Я - постоянные, независящие от п.
Из (1.2.29), (1.2.30), (1.2.31) вытекают оценки быстроты сходимости приближенных решений Уп К V.
М*>ч) - ^ (п + Г)?т» (1-2-32)
II ^(у-Уп) ||2' <_Мз2_
I! д$т к«?,.)- (п + 1)2т' [ }
Подпространство функций г(£,т]) из И'г22т'1(С?г) , удовлетворяющих нулевым граничным условиям (1.1.6) на боковой поверхности цилиндра,
о 2т,
обозначим через И2 (Ят)-
о 2т,
Пусть Г-оператор следа функций из Иг (Ят) при г/ = 0 , то есть
Г^(^, 77) = я(£,0). Известно, что оператор Г переводит функцию из про-
о 2т,1 о т
странства Иг (Ят) в функцию из Ид (0,1)- Рассмотрим операторы:
о 2т72,)1 о ттх
А^ТпЛ, В, дейсвующие из Иг (Ят) в ^г(<5г)х ^2 (0,1) по законам
Аг = {(^+Мл))г,Тг}, ТпМ = {{~ + РпАх(ч))г, РпТг),