Разностные схемы для одномерных сингулярно возмущенных задач в неограниченной области

• Автор: Харина, Ольга Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 143 с.

1 Построение конструктивных схем для систем уравнений на бесконечном интервале

1 1 Система уравнений типа диффузия-реакция

1.2 Система уравнений типа диффузия-конвекция

1.3 Система типа диффузия-реакция с диагонально преобладающей матрицей

1.4 Нелинейное уравнение с пограничным слоем, соответствующим зоне химической реакции

2 Построение конструктивных схем для задач с точечным источником

2.1 Линейное уравнение с точечным источником

2.2 Система линейных уравнений с точечным источником

2.3 Система нелинейных уравнений с точечным источником

3 Применение метода прямых для уравнений в частных производных

3.1 Параболическое уравнение с сосредоточенным источником на

бесконечном интервале

3.2 Эллиптическое уравнение в полубесконечной полосе
Заключение
Литература

Актуальность. При математическом моделировании процессов конвективно-диффузионного переноса возникают краевые задачи для уравнений второго порядка с малым параметром при старших производных в неограниченной области. Чтобы решить такую задачу конечно-разностным методом, необходимо, чтобы разностная схема была конструктивной для компьютерных вычислений и сетка содержала конечное число узлов. Решение задачи в случае преобладания конвекции над диффузией содержит область пограничного слоя, что, как известно, приводит к расходимости классических разностных схем и к необходимости построения разностных схем, сходящихся равномерно но малому параметру. При наличии сосредоточенных источников возникают пограничные слои в окрестности источников, которые необходимо учитывать при построении разностных схем.
Первоначально для решения уравнений с малыми параметрами развивались асимптотические методы. Основопологающими являются работы А.Н. Тихонова, А.Б. Васильевой, С.А. Ломова, В.Б. Бутузова, Л.И. Люстерника, М.И. Вишика, А.М. Ильина.
Вопрос построения равномерно сходящихся разностных схем для сингулярно возмущенных краевых задач исследуется с 1969 года. На данный момент много работ посвящено разработке разностных схем для сингулярно возмущенных задач, рассматриваемых, как правило, в ограниченной обла-

Go — Goa, (1.32)
где Goo определено в (1.26). Так как матрица Gm(x) построена на основе разложений, то Gm(x) является решением задачи (1.24) с возмущенной матрицей С(х) :
eG' - eG2 - a{x)G + С(х) = 0, lim G(x) = Goo, (1.33)
X—+OQ
где ||G(x) — G(x)|| < G4T“(m+1).
Пусть матрица C(x) симметрична. Покажем, что тогда выполнены условия леммы 11. В силу симметричности С(х) и уравнения (1.24) матрица G(x) симметрична. Из рекуррентной формулы (1.32) следует, что все матрицы Gt(x) симметричны, поэтому симметрична матрица G{x) — Gm[x). Из уравнения (1.33) следует, что матрица С(х) симметрична. Учитывая условие G(x) —> Goo, получим, что Goo = Goo. Таким образом условия леммы 11 выполнены. Пусть х > L. Тогда в силу леммы при х > L
||G(a;) - ОД|| < С5Т~(щ+1).
По аналогии с вышеизложенным, функция в(х) может быть найдена на основе разложения в ряд по отрицательным степеням х.
1.3 Система типа диффузия-реакция с диагонально преобладающей матрицей
Рассматриваются вопросы численного решения краевой задачи для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старших производных на полубесконечном интервале. Исходная задача сводится к краевой задаче для конечного интервала с помощью подхода, основанного на выделении всего многообразия