Конечно-разностные методы решения уравнений мелкой воды на неструктурированных сетках

• Автор: Друца, Александр Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Основные обозначения и определения
1.1 Основные обозначения
1.2 Сеточные функции
1.3 Аппроксимация операторов на сетке
1.4 Свойства сеточных операторов
1.4.1 Согласованность сеточных операторов дивергенции и градиента
1.4.2 Сеточный аналог формулы Гаусса—Остроградского
1.5 Вспомогательные утверждения
1.6 Неструктурированные сетки
1.7 Нерегулярные элементы сетки
1.8 Выводы
2 Линеаризованные уравнения мелкой воды в декартовой системе координат
2.1 Постановка задачи
2.2 Разностная аппроксимация уравнений
2.3 Преобразование сеточной задачи
2.4 Свойства сеточной задачи
2.5 Итерационный процесс
2.6 Устойчивость решения по начальным данным
2.7 Сходимость
2.8 Численные эксперименты
2.8.1 Сравнение с аналитическим решением
2.8.2 Численная оценка порядка сходимости
2.8.3 Сохранение баланса
2.8.4 Сила Кориолиса
2.8.5 Расчёт на реальной географической области

2.9 Выводы
3 Нелинейные уравнения мелкой воды в декартовой системе координат
3.1 Постановка задачи для уравнений мелкой воды в декартовой системе координат с вязкостью и нелинейным членом
3.2 Сеточная задача
3.3 Численные эксперименты
3.3.1 Влияние нелинейности
3.3.2 Тупоугольные треугольники
3.3.3 Многосвязная область
3.3.4 Расчёт на реальной географической области
3.4 Постановка задачи с нелинейным уравнением неразрывности
3.5 Аппроксимация уравнений
3.6 Численные эксперименты
3.6.1 Неравномерное дно
3.6.2 Набегание волны на берег
3.7 Выводы
4 Линеаризованные уравнения мелкой воды в сферической системе координат
4.1 Постановка задачи
4.2 Сеточные функции
4.3 Разностная аппроксимация уравнений
4.4 Преобразование сеточной задачи
4.5 Свойства сеточной задачи
4.6 Устойчивость решения по начальным данным
4.7 Сходимость
4.8 Численный эксперимент для реального географического объекта
4.9 Выводы
Заключение
Список литературы

Введение
Одним из важных направлений современной вычислительной математики является моделирование различных процессов, происходящих в окружающей среде и связанных, в частности, с перемещением потоков жидкости в мировом океане. К числу таких процессов можно отнести возникновение приливных волн или цунами, распространение вредных загрязняющих веществ с водными течениями и другие. Математическое моделирование является мощным методом, открывающим возможность прогнозировать масштабы и последствия подобного рода событий для обширных регионов Земли и даже для всего человечества. Необходимость дальнейшей разработки уже имеющихся подходов и создание новых программных продуктов связана с необходимостью учитывать различные факторы, влияющие на исследуемые процессы (рельеф дна и побережья, глубина, вязкость жидкостей, температура).
Динамику приливных волн в океане описывает система уравнений мелкой воды. Результаты работы надданной проблемой могут быть успешно использованы при моделировании различных океанических течений, моделировании распространения волны цунами, расчётах движения приливных волн, прогнозировании распространения вредных примесей при разработке нефтяных месторождений на шельфе, моделировании циркуляции атмосферы. Помимо того, что данная задача имеет важное самостоятельное значения, она является существенной частью общей математической модели динамики океана [6]. В этой модели система уравнений мелкой воды описывает краевые условия на поверхности океана.
Систему уравнений динамики приливов можно получить из уравнений Навье—Стокса при условии, что горизонтальный масштаб много больше вертикального, то есть можно предположить, что продольные скорости постоянны по толщине слоя. Вывод уравнений мелкой воды из уравнений крупно-

2. Для получения значений высоты волны на верхнем слое, нам необходимо решить систему (2.4.5) с М-матрицей. Решение такой системы может быть получено различными итерационными алгоритмами. В настоящей работе использовался метод би-сопряжённых градиентов (BiCGStab [8]).
3. Находим компоненты скоростей на верхнем слое по формулам (2.3.2) и
4. Выполняем шаги 2—3, пока не выполним требуемое количество итераций по времени.
2.6 Устойчивость решения по начальным данным
Докажем, что норма решения на п-м слое не превосходит нормы начальных данных. Запишем нашу аппроксимацию уравнений (2.1.1) и (2.1.2) в векторном виде:
(2.3.3).
= —і?й + Хк х й + дУнС-

Умножим предыдущее соотношение скалярно на 2тй, имеем

(2.6.1)
Обозначим й{ = и преобразуем левую часть (2.6.1):
= 2||й||2 — 2||и||2 — 2(и, тйг)
(2.6.2)
211й112 - 2||и||2 - 2(й - тйи тйг)

2||и||2 + 2т2||й*||2-2т(й,йД
Из последнего равенства следует:
(2.6.3)