Минимальные кубатурные формулы, точные для полиномов Хаара

• Автор: Кириллов, Кирилл Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 188 с.

Оглавление
Введение

О содержании диссертации

Основные обозначения

Глава 1. Функции Хаара и ГО -сетки

1.1. Определение и свойства функций Хаара. Ряды Хаара

1.2. Линейные нормированные пространства вр и На

1.3. Кубатурные формулы с узлами, образующими П7-сетку . .

Глава 2. Построение минимальных формул приближенного интегрирования, точных для полиномов Хаара

2.1. Основные определения и леммы

2.1.1. Полиномы Хаара одной переменной. Понятие квад-

ратурной формулы, обладающей (/-свойством Хаара. Определение к-функций и их свойства
2.1.2. Полиномы Хаара двух переменных. Понятие куба-
турной формулы, обладающей (/-свойством Хаара в двумерном случае. Определение к-мономов и их свойства
2.2. Описание всех минимальных весовых квадратурных формул, обладающих (/-свойством Хаара
2.2.1. Вспомогательные определения и леммы
2.2.2. Нижние оценки числа узлов квадратурных формул,
обладающих (/—свойством Хаара

2.2.3. Необходимые и достаточные условия минимальности
квадратурных формул, обладающих (/-свойством Хаара
2.2.4. Примеры минимальных квадратурных формул, об-
ладающих (/-свойством Хаара
2.3. Минимальные кубатурные формулы, обладающие с1-свойством Хаара для й ^ 3 в двумерном случае
2.3.1. Вывод простейших оценок числа узлов кубатурных
формул, точных для полиномов Хаара
2.3.2. Примеры минимальных кубатурных формул, обла-
дающих (/-свойством Хаара для (/=1,2,
2.4. Построение в двумерном случае минимальных кубатурных
формул, обладающих (/-свойством Хаара для 3
2.4.1. Вспомогательные определения и леммы
2.4.2. Уточнение нижних оценок числа узлов кубатурных
формул, обладающих (/-свойством Хаара при (/ ^ 4
2.4.3. Некоторые примеры минимальных кубатурных фор-
мул, обладающих (/-свойством Хаара в случае (I > 3
2.4.4. Построение минимальной кубатурной формулы, об-
ладающей ( 2.4.5. Построение минимальных кубатурных формул выс-
ших степеней точности Хаара
2.5. Приложение кубатурных формул, точных для полиномов Хаара, к двумерному дискретному преобразованию Хаара
2.5.1. Классический метод дискретного преобразования Хаара
2.5.2. Вариант дискретного преобразования Хаара с узлами
на По-сетках
Глава 3. Оценки погрешности формул приближенного

интегрирования, точных для полиномов Хаара
3.1. Оценки погрешности квадратурных формул, обладающих ^-свойством
3.1.1. Оценки нормы функционала погрешности квадратурных формул на пространствах вр (весовая функция д(х) = 1)
3.1.2. Оценки нормы функционала погрешности квадратурных формул на пространствах На
3.1.3. Оценки нормы функционала погрешности весовых
квадратурных формул на пространствах Зр
3.2. Оценки погрешности кубатурных формул, обладающих (I-
свойством в двумерном случае
3.2.1. Оценки нормы функционала погрешности кубатур-..........-н-ых формул на-пространствах .
3.2.2. Оценки нормы функционала погрешности кубатур-
ных формул на пространствах На
Заключение
Список литературы

Лемма доказана.
Имеет место
Лемма 2.4. В точках непрерывности функции Хаара Хтц(%) имеет место равенство:
Хш,Лх) = (2.6)
ж = 1,2,..., 7 = 1,2,..., 2т_1. Всюду, за исключением точек, в которых функции Хм 0е) и Хтц{х) одновременно терпят разрыв (если такие точки существуют), произведение этих функций
{2 2 ХтЦ (З') » ССЛи, 1т,] С
-2^Хт,7(ж), если, 1т,] (2.7)
О в остальных случаях,
где т ^ /г, 2к_1 4 г ф 2та_1 + у.
Равенство (2.6) следует из леммы 2.3, соотношение (2.7) устанавливается непосредственно.
Следствие леммы 2.4. Всюду, за исключением точек, в которых полиномы Хаара Р(х), И(х) степеней, не превосходящих й, одновременно терпят разрыв (если такие точки существуют), функция Р(х) = = Р(х)Щх) есть полином Хаара степени, не превосходящей д.
2.1.2. Полиномы Хаара двух переменных. Понятие кубатурной формулы, обладающей д-свойством Хаара в двумерном случае. Определение к-мономов и их свойства
Введем понятие полинома Хаара двух переменных.
Определение 2.5. Полиномами Хаара степени д будем называть функции
й 2г-1 <г 2т-
Р<1{х ,хф) = а0 + ^тХтЦ (^2) +
г=г г=1 т— з=