Изогеометрическая интерполяция нелокальными кубическими сплайнами и их обобщениями

• Автор: Богданов, Владимир Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 113 с. : ил.

Оглавление

Введение

Глава 1. Трёхдиагональные системы с нестрого якобиевой матрицей

1.1. Вводные замечания

1.2. Задача о наследовании решением системы линейных уравнений знаковой схемы правой части
1.3. Условия неотрицательности решения системы с нестрого якобиевой матрицей и диагональным преобладанием по строкам или
по столбцам
Глава 2. Условия изогеометрической интерполяции классическими кубическими сплайнами класса С2

2.1. Комонотонность и ковыпуклость при сплайн-интерполяции

2.2. Представления сплайнов, приводящие к системам с диагональным преобладанием по столбцам
2.3. Условия комонотонной интерполяции кубическими сплайнами .
Глава 3. Изогеометрическая интерполяция обобщёнными кубическими сплайнами класса С2
3.1. Обобщенные нелокальные кубические сплайны
3.2. Оптимальность параметров при выпуклой интерполяции
3.3. Численная реализация алгоритма выбора управляющих параметров сплайна
Заключение
Литература

Введение
К геометрическим характеристикам функции обычно относят свойства её графика, которые принято называть ^-монотонностью. Для гладкой функции /(ж) под ^-монотонностью мы понимаем знакопостоянство к-ой производной /^(ж). В принципе, понятие ^-монотонности можно и не связывать с гладкостью функции, но мы на этом останавливаться не будем. При невысоких значениях к для /е-монотонности есть специальные названия: к = 0 — знакопостоянство, к = 1 — монотонность, к = 2 — выпуклость (вниз или вверх). Иногда /г-монотонность, аналогично, называют /с-выпуклостью. Для функций, не обладающих свойством /с-монотон-ности, интерес представляет возможность разбиения области задания на промежутки ^-монотонности, что характеризует свойство кусочной к-монотонности функции. Смена знака производной порядка к характеризует изменение направления /с-монотонности функции.
Геометрические свойства функции /, заданной на отрезке [а, Ь] дискретно своими значениями /г = /(жг) в некоторых точках жг, образующих сетку
Д : а = хо < жх < ... < хп — Ь,
в отсутствие иной информации характеризуются знаками разделённых раз-(к)
ностей ог порядка к, которые для всех возможных г определяются рекур-рентно:
= /„ {<*> = (^7') - в{,к-ц)/(хм - х,).
Такая характеристика обусловлена тем, что для достаточно гладкой функции существует £гк е хг,хг+к, такое что к 5{гк) = /(А:) (&*;)•
Дискретные данные {/Д с неотрицательными разделёнными разностями порядка к также будем называть ^-монотонными. Очевидно, что если функция / является /с-монотонной, то £>монотонным является и набор её сеточных значений /г = /(жг), т.е. > 0 для всех возможных г.

Произвольные сеточные данные, не являющиеся ^-монотонными, характеризуются участками ^-монотонности, в этом смысле будем говорить о кусочно ^-монотонных данных. Изменение знака разделённых разностей порядка к на границе участков /с-монотонности <^<5^ < 0 будем называть изменением направления /с-монотонности данных.
Аппроксимацию, согласованную с кусочной /с-монотонностью данных, представляющих заданную на сетке функцию, называют сохраняющей кусочную /с-монотонность или /с-комонотонной.
Данная работа посвящена вопросам интерполяции данных с учетом их ^-монотонности и кусочной /с-монотонности для к = 1,2, т.е. комо-нотонной (к — 1) и ковыпуклой (/с = 2) интерполяции сплайнами. В этих случаях первую и вторую разделённые разности принято обозначать /хг,Хг+] = и /[х{-1,Хг,Хг+1] = <5^, в последнем случае для краткости будем использовать обозначение ф = /[а^-цЖцХг+х].
В настоящее время основным аппаратом интерполяции в практических задачах, особенно при большом числе точек, являются полиномиальные сплайны.
Хотя кусочно гладкие функции используются с незапамятных времён, впервые полиномиальные сплайны, как объект исследования, появились в работе И. Шёнберга [88]. С развитием вычислительных средств теория сплайнов стала развиваться стремительно. Простота, алгоритмичность и открытость для внедрения в сплайновую конструкцию самых разных математических объектов в сочетании с изобилием представлений сплайнов, превратили их в универсальный аппарат решения задач вычислительной математики и теории приближений.
Первая монография по сплайнам Дж. Алберга, Э. Нильсона, и Дж. Уолша, появившаяся в 1967 году на английском языке и переведенная в 1972 году Ю. Н. Субботиным под редакцией С. Б. Стечкина [1] послужила толчком к русскоязычному изложению развивающейся теории. И уже в 1976 году

решение системы с такой матрицей неотрицательно. Конечно, решение может оказаться неотрицательным (для некоторой конкретной правой части) и в том случае, когда матрица системы не принадлежит указанному классу. Поэтому естественно и возникает вопрос об описании дополнительных ограничений на правую часть, обеспечивающих неотрицательность решения системы с матрицами из других классов.
Впервые инструментарий для решения задачи в такой постановке для трехдиагональных систем уравнений разработал В.Л. Мирошниченко [76], что позволило ему описать ограничения на правую часть, гарантирующие неотрицательность решения. Это было сделано им для класса трёхдиагональных матриц с неотрицательными элементами и диагональным преобладанием по строкам.
Теорема 1.1 ([76]). Пусть элементы матрицы А и вектора правой части б, системы (1.5) неотрицательны, и матрица А имеет строгое диагональным преобладанием по строкам
а0 - Ь0 > 0, а, - Сг — 6, > 0, г = 1,..., п — 1, ап - сп > 0.
Тогда решение г будет неотрицательным, если выполнены неравенства
б0 — — бг > 0,

д-г бг- бг+1 >0, г = 1, . . ,п - 1,
Яг—1 &г+
бп — бп-1 > 0.

Результат был получен на языке элементарных преобразований системы, приводящих её к пятидиагональной.
К каждому г-му уравнению добавляется линейная комбинация двух соседних уравнений для г = 1,...,п — 1 либо одного соседнего для первого и последнего уравнений так, что из него исключаются неизвестные с индексами г — 1 и г + 1, а для первого и последнего с индексами 1 и