Сопряженно-нормальные матрицы и методы конгруэнтного типа для систем линейных алгебраических уравнений

• Автор: Моджтаба Гасеми Камалванд
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 112 с. : ил.

Список обозначений

Глава 1. Псевдоподобия и унитарные конгруэнции

1.1. Некоторые сведения из теории псевдоподобий

1.2. Некоторые сведения об унитарных конгруэнциях

1.3. О достижимости компактных форм посредством унитарных конгруэнций

Глава 2. Сопряжённо-нормальные матрицы

2.1. Основные свойства. Связь с нормальными матрицами

2.2. Множество сопряжённо-нормальных матриц как вещественное алгебраическое многообразие

2.3. Сопряжённо-нормальные матрицы с сопряжённонормальными главными подматрицами

Глава 3. Метод MINRES-CN

3.1. Приведение к компактным формам посредством конечных ортогональных процессов

3.2. Алгоритм СБУМ. Связь с крыловскими подпространствами
3.3. Обобщённый процесс Ланцоша
3.4. Приведение сопряжённо-нормальной матрицы к блочнотрёхдиагональной форме. Метод МШИЕв-СИ
3.5. Особенности программной реализации метода MINR.ES-ст
3.6. Численные результаты. Сравнение с СМЯЕБ

Глава 4. Малоранговые возмущения симметричных и сопряжённонормальных систем
4.1. Сопряжённо-нормальные возмущения симметричных матриц
4.2. Произвольные возмущения симметричных матриц
4.3. Малоранговые возмущения нормальных и сопряжённонормальных матриц
Литература
Приложение. Процедура МЕЧШЗЗ-СШ

Список обозначений
К — поле вещественных чисел С — поле комплексных чисел
К" — арифметическое пространство размерности п над К
С” — арифметическое пространство размерности п над С
Мщп(К) — пространство вещественных т х гг—матриц
Мп(И) — пространство вещественных квадратных матриц порядка п
АГт,„(С) — пространство комплексных т х п—матриц
Мп{С) — пространство комплексных квадратных матриц порядка п
1п — единичная матрица
О — число нуль, нулевой вектор или нулевая матрица (размер определяется контекстом)
А — матрица, полученная из А взятием поэлементного сопряжения АТ — транспонированная матрица А* — сопряженная матрица Л-1 — обратная матрица
|| • ||^ — евклидова норма вектора, спектральная норма матрицы еопсЦЛ) — спектральное число обусловленности матрицы А Xі(А) — собственные значения матрицы А сгі(А) — сингулярные числа матрицы А
1Ст(А, х0) — т-е крыловское подпространство, порожденное матрицей А и вектором х0
хт — приближенное решение системы, вычисленное на шаге т Гт — Ь — Ахт — невязка т-го приближенного решения ітЛ — образ матрицы (или оператора) А кегА — ядро матрицы (или оператора) А

Итак, “правые” части первых т — 1 строк матрицы А суть нулевые подвекторы. Напротив, в строках т + 2 п нулевыми подвекторами являются “левые части” (соответствующие позициям 1 < j < т). Это означает, в частности, что
{АА*}т-и = 0, з = т + 2 п.
Но тогда
(Ш}т-и = &т,т— 1 = 0, j — ТП, А 2, . . . , П.
Поскольку ат)П1_1 ф 0 в силу неразложимости А, имеем
Отту = 0, ] = т + 2 п.
Мы показали, что ат>т+ — единственный ненулевой элемент блока С. Теперь из равенства 2-норм строки т и столбца т в матрице А заключаем,

2 9 т~ 1 9
,771— 11 |От,т+1.|~ — 52 "Г |От+1,то |2. (2.23)

Аналогичное равенство для подматрицы Б дает

|Ош,т—1| — 52 • (2.24)

Сличая (2.23) и (2.24), получаем
1^771,771+1 I — |®т+1,т|* (2.25)
Отсюда
£>*!> = САС (2.26)
(обе матрицы имеют единственный ненулевой элемент в позиции (1,1), равный |от+1>т|2 — |ат1т+1|2). Подставляя (2.26) в (2.22), видим, что подматрица Е также сопряженно-нормальная.