Гарантированная точность вычисления многомерных интегралов

• Автор: Васкевич, Владимир Леонтьевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 243 с.

Быстродействие и память электронных вычислительных машин, как это отмечается во многих современных работах, за каждую пятилетку возрастают примерно в десять раз, и вместе с этим ростом исследованиям при помощи и посредством массированных компьютерных вычислений подвергаются все более и более сложные задачи естествознания и техники.
Объем перерабатываемой при этом информации становится поистине гигантским и традиционные, хорошо себя зарекомендовавшие для относительно малых объемов обрабатываемых данных, способы контроля за происходящими в компьютере вычислениями в изменившихся условиях свою эффективность утрачивают.
По-видимому, именно по этой причине в научных изданиях регулярно появляются статьи, в заголовки которых снова и снова выносится вопрос о том, можно ли и насколько можно доверять результатам компьютерных вычислений?, (см., например, [10], [27], [353]). Ответ на этот вопрос интересен еще и тем, что позволяет избежать ненужных затрат и вероятных потерь, многократно увеличивающихся по мере усложнения рассматриваемой научно-технической проблемы.
Желание полностью контролировать сложный вычислительный процесс породило в современной математике ряд новых направлений и одно из них связано с выработкой неклассических критериев качества рассматриваемого процесса. Существо такого рода критериев состоит, как правило, в определении сопутствующих выбранному вычислительному процессу числовых параметров (одного или нескольких), эффективно определяемых по исходным данным задачи и позволяющих (в зависимости от собственной величины) давать гарантированные заключения о близости или удаленности получаемого машиной числа и истинного результата. Наибольшее развитие указанный подход получил во второй половине прошлого века в

применении к задачам линейной алгебры (см., например, [93], [79]).

Успехи, достигнутые в этом направлении, побуждают к проведению аналогичной точки зрения в областях вычислительной математики, непосредственно с линейной алгеброй не связанных, и, в частности, к выработке соответствующих критериев в теории приближенного многомерного интегрирования.
1°. Практика современных теории приближений и численных методов такова, что наиболее развиты и широко используемы способы вычисления интегралов на основе метода кубатурных (квадратурных) формул. В связи с компьютерной реализацией этого метода, т.е. в связи с его реализацией в арифметике с конечной точностью, возникает вопрос о правомочности применения оценок погрешности, получаемых в рамках функционального подхода теории кубатурных формул, к оценке погрешности реального вычислительного процесса.
Особенность реализации кубатурной формулы в арифметике с конечной точностью состоит прежде всего в том, что веса формулы и узловые значения подынтегральной функции приходится представлять в системе счисления с заданным основанием как вещественные числа с плавающей точкой, причем порядки этих представлений лежат в наперед заданном и зависящем от компьютера фиксированном отрезке числовой оси, а мантиссы этих же представлений содержат одно и то же также наперед заданное конечное число значащих цифр.
К погрешности аппроксимации, возникающей в результате замены интеграла конечной суммой взвешенных узловых значений подынтегральной функции, неминуемо добавляются при этом погрешности, обусловленные как неточным вводом в компьютер начальных данных задачи (весов формулы и узловых значений подынтегральной функции), так и неточным же выполнением сопутствующих формуле арифметических операций (сложений и умножений).
Верхняя граница возникающей таким образом полной ошибки растет пропорционально числу N узлов рассматриваемой формулы. Тем самым, начиная с некоторого значения N0, эта верхняя граница заведомо превзойдет теоретическую погрешность кубатурной формулы, т.е. погрешность, вычисленную в предположении, что начальные данные задачи введены в

компьютер абсолютно точно и арифметические действия над ними совершаются также абсолютно точно. Следовательно, гарантировать точность в практических вычислениях интегралов без скрупулезного анализа сопутствующей этим вычислениям суммарной погрешности немыслимо.
Появление суммарной погрешности метода принято связывать с тремя основными видами ошибок:
ошибками, возникающими при замене операции взятия интеграла конечным числом арифметических операций (ошибки ограничения);
ошибками, содержащимися в исходной информации (ошибки ввода),
ошибками, возникающими в результате необходимости представлять результаты арифметических операций в виде цифрового вектора конечной длины (ошибки округления).
Суммарная погрешность может быть как абсолютной, так и относительной, но практика такова, что большинство пользователей предпочитают алгоритмы, в которых малость погрешности понимается по отношению к той или иной норме подынтегральной функции. Этому же предпочтению следует и настоящая диссертация.
Хорошо известно, что в классической теории ошибка кубатурной формулы на классе функций характеризуется с помощью нормы ее функционала погрешности. В случае арифметики с конечной точностью использование для оценки погрешности только лишь упомянутой нормы явно недостаточно: в ней никак не учтены ошибки ввода и округления. Чтобы учесть их, в диссертации вместо нормы функционала погрешности предлагается использовать родственное понятие “гарантированного радиуса” кубатурной формулы. В пределе, когда точность используемой в методе арифметики неограниченно возрастает, гарантированный радиус формулы переходит в норму ее же функционала погрешности.
2°. Квадратурные формулы для вычисления интеграла от непрерывной функции стали применяться и содержательно исследоваться задолго до того, как собственно появилось само определение интеграла. К примеру, еще Архимед, рассматривая задачу вычисления площади параболического сегмента, применил для этой цели формулу трапеций и, по существу, доказал сходимость соответствующего квадратурного процесса [97, с. 240]. В дальнейшем в создание и развитие теории приближенного интегрирования
Задачи приближенного интегрирования с гарантированной точностью

Изначально требуется, чтобы правила, указывающие узлы и веса с* кубатурной формулы, от выбора конкретной интегрируемой функции ц>{х) не зависели.
Это предположение означает, в частности, что функционал погрешности 1м является линейным на своей естественной области определения — пространстве непрерывных функций С(П). Более того, на банаховом пространстве С(П) функционал 1м ограничен, причем его норма, как несложно убедиться, представима в виде
1ЫСЧП)||ЧП| + Х>1-

Таким образом, функционал погрешности 1м вида (1.4) представляет собой финитную обобщенную функцию, носитель которой в точности равен замыканию области интегрирования П.
Из этого очевидного замечания ясно, что теорию кубатурных формул можно рассматривать как часть современной теории обобщенных функций и в этой связи удобно использовать понятие кубатурной формулы применительно к более общим задачам, нежели классическая задача приближенного интегрирования.
Именно, для произвольной ненулевой обобщенной функции 1^х) из пространства V, имеющей своим носителем ограниченную область П, имеет смысл рассматривать приближенные равенства вида

х) — Ск5(х — т^)] 1р(х) бх Е2 0, к
также называя их кубатурными формулами. Ряд приводимых далее результатов относится именно к формулам такого вида.
Предположим, что, решая основную задачу, мы по той или иной причине остановили свой выбор на кубатурной формуле

/пЫ - 2м(<р) = /пМ - ^2 с^(х(к)) — °-

Тогда следующий наш шаг должен состоять в ответе на вопрос: как именно мы будем вычислять кубатурную сумму Едг(<£>)? Естественно, особенно