Фреймоподобные системы всплесков

• Автор: Кривошеин, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 139 с.

Посвящаю родителям и моей дорогой Жене.
Оглавление
Введение
1 Обозначения и вспомогательные результаты
1.1 Обозначения
1.2 Предварительные сведения
1.3 Вспомогательные результаты
2 Фреймоподобные системы всплесков
2.1 Оператор масштабирования и его свойства
2.2 Реализация принципа расширения
2.3 Разложения по системе всплесков
2.4 Выводы
3 Построение симметричных систем всплесков
3.1 Группы симметрий
3.2 Результаты
3.3 Симметричные фреймоподобные системы
3.3.1 Центрально-симметричные фреймоподобные системы . .
3.3.2 Фреймоподобные системы с осевой симметрией
3.3.3 Фреймоподобные системы с различной симметрией . . .
3.4 Симметричные фреймы всплесков
3.4.1 Предварительные сведения
3.4.2 Построение симметричных фреймов всплесков
Литература
Приложение

Введение
Актуальность темы. На сегодняшний день теория всплесков за прошедшие два десятилетия с момента ее появления нашла своё применение практически во всех областях, связанных с обработкой нестад щонарных сигналов. Сжатие и обработка изображений (JPEG 2000, DjVU), аудио и видео кодирование, очищение зашумленных и искаженных сигналов и многое другое. С каждым годом число приложений только растет. В связи с этим, разработка новых систем всплесков, являющихся основой для эффективных вычислительных алгоритмов при обработке сигналов, притягивает к себе пристальное внимание.
Теория всплесков, наряду с ее огромным значением в цифровой обработке сигналов, также внесла и существенный вклад в развитие ряда разделов математики. Можно отметить построение оптимальных полиномиальных ортогональных базисов в пространствах непрерывных на отрезке и периодических функций, конструктивное описание различных функциональных пространств и построение безусловных базисов в них, в частности безусловных базисов в анизотропных пространствах Соболева, Бесова и Лизоркина-Трибеля. Значение теоретических результатов полученных с развитием теории всплесков общепризнано научным сообществом. За фундаментальные исследования в этой области И. Мейер стал лауреатом премии Гаусса, которая была вручена ему на Международном математическом конгрессе в августе 2010 г.
В последние годы активно изучаются фреймы всплесков, особенно в США и Канаде. Понятие фрейма было введено в 1952 году Р. Даффином и А. Шеффером. Однако оно было практически забыто до появления теории всплесков. В настоящее время публикуется значительное число работ, связанных с фреймами всплесков. Этой темой занимались такие выдающиеся математики, как И. Добеши, А. Рои, Б. Хан, Ч. Чуй. Также существенный вклад внесли М. Во-

Наличие свойства обнуляющихся моментов для всплеск-масок т„, ти,
V — 1г, до порядка п Є N в силу (1.15) эквивалентно УМп свойству ДЛЯ систем всплесков {Ф^}, {'ФуьУ, V = 1, • • ■, г, что влечет хороший порядок аппроксимации для соответствующего разложения по таким системам всплесков (см., например, [8, §1.7] или далее теорему 38 и др.).
Чтобы уметь строить системы всплесков с высоким порядком аппроксимации, необходимо уметь обеспечивать всплеск-маски т„, т„, и = 1,,г, обнуляющимися моментами. Известно (см., например, [8, лемма 2.7.6]), что в случае г — тп — 1 число обнуляющихся моментов всплеск-масок т„,
V = 1,..., тп — 1, зависит только от масштабирующей маски то, т. е. первая строка матрицы Л4 отвечает за обнуляющиеся моменты всплеск-масок, порожденных матрицей М. При г > т — 1 свойство обнуляющихся моментов всплеск-масок т„ зависит также от способа построения матриц Л4, Л4 (см., например, [60]). А именно верна следующая теорема.
Теорема 21 ([60, теорема 7]) Пусть п Є й, г > т — 1, функции р„к, Д,,ь и, к = 0,..., г - тригонометрические полиномы, при этом /щц,..., д„,т_і и /щ0, • - -, ц,лт і - полифазные составляющие соответственно масок т„ и 7п„, V, = 0,... ,г. Если матрицы Я •— {Ці/*}*=о£ и Я := {Рик}к„2о!г удовлетворяют условию Я Я* — ЕГ+1, то всплеск-маски т„, и = 1,г обладают обнуляющимися моментами до порядка п тогда и только тогда, когда (г) полифазные составляющие р0ь А; = 0,... ,тп— 1, удовлетворяют условиям (1.11) с числами Ха из (1.12).
(гг) В^рокі0) — 0, к = т,..., г для всех [5 Є Д„.
Теперь ЯСНО, ЧТО ДЛЯ построения двойственных систем всплесков {фр}}, і’Фік} 113 произвольных масштабирующих масок то, то так, чтобы система {ф^}} имела УМ" свойство, необходимо продолжить полифазные строчки до (роь ■ • •, Рот), (цоь - - •, Уог) таким образом, чтобы выполнялись условия (і), (іі) теоремы 21 и рок (О Рок (О — 1- Далее эти строчки надо продолжить до матриц Я, Я из теоремы 21. Откуда получим требуемые всплеск-маски т„, V, — 0,..., г, обладающие обнуляющимися моментами до порядка п. Отметим, что такое продолжение строк до матриц Я и Я всегда существует (см. подробнее, например, (8, §2.6]), однако в общем случае технически трудно.