О всплесковых разложениях пространств сплайнов

• Автор: Зимин, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 101 с.

Оглавление
Введение
1 Всплесковое разложение
пространств сплайнов лагранжева типа
1 Всплесковое разложение пространств сплайнов второй степени
2 Аппроксимационные соотношения для кубических сплайнов
3 Биортогональная система функционалов
4 Калибровочные соотношения
5 Всплесковое разложение
6 Формулы реконструкции и декомпозиции
7 Случай периодических сплайнов
8 Оценки устойчивости
9 Оценки аппроксимации
2 Всплесковое разложение
пространств сплайнов эрмитова типа
1 Сплайны эрмитова типа
2 Калибровочные соотношения для сплайнов эрмитова типа
3 Биортогональная система функционалов
4 Всплесковое разложение
5 О формулах декомпозиции и реконструкции для эрмитовых
сплайнов
3 Всплесковое разложение на многообразии
1 Определения и обозначения
2 Пространство сплайнов на многообразии

3 Калибровочные соотношения
4 Формулы реконструкции и декомпозиции
5 О биортогональной системе
6 Всплесковое разложение пространств
кусочно-постоянных сплайнов
7 Полное оснащение симплициального подразделения
8 Функции курантова типа
9 Вспомогательные утверждения
10 Криволинейное симплициальное подразделение и непрерывность
функций курантова типа
11 Измельчение симплициального подразделения и калибровочные
соотношения
12 О матрицах всплескового разложения пространств аппроксимаций курантова типа
13 Некоторые замечания в случае плоскости
4 Реализация всплескового сжатия
1 Алгоритмы выбора сетки
2 Описание численных экспериментов
Приложение
Список литературы

Введение
Теория всплесков (вэйвлетов) появилась полтора десятилетия назад и интенсивно развивается. Ключевой работой в этой области принято считать книгу И. Добеши [1]. Большой вклад в развитие этой теории внесли учёные: И. Мейер, С.Малла, Г. Стренг, Ж. Баттле, П. Ж. Лемарье, Ч.Чуи, Р. Койф-ман, В. Свелденс, С. Б. Стечкин, В. А. Рвачев, И. Я. Новиков, В. Н. Малозёмов,
А. П. Петухов, М. А. Скопина, Е. Е. Тыртышников, Ю. К. Демьянович, И. В. Осел еде, В. А. Жёлудев и др.
Вэйвлеты широко применяются при решении задач вычислительной математики и цифровой обработки сигналов. Как правило, в подобных задачах требуется найти коэффициенты разложения функции по некоторому базису с целью извлечения информации о функции, для последующей обработки или анализа. В теории вэйвлетов изучаются различные базисы, последовательности базисов, последовательности вложенных пространств, а также алгоритмы преобразования коэффициентов разложений функций по этим базисам. Вложенность пространств {И}ге2> К С Ц+1, позволяет ввести подпространства Ж С И+1 так1 что И+1 может быть представлено в виде прямой (а иногда и ортогональной) суммы: П+х = Всплесковым (вэйвлет-
ным) разложением пространства 1фц называется разложение вида И+1 = Ж+ ..+Ж_а-|Ж_а- Обычно пространство Ц рассматривают как несущее основную информацию о функции, а Ж; как несущее уточняющую информацию.
Классические подходы к построению вэйвлетного разложения связаны с использованием преобразования Фурье и кратно-масштабного анализа (см., например, [1]-[8]), а также теории сплайнов ([9]-[19]). Преобразование Фурье эффективно для равномерной сетки, однако при обработке сигналов с рез-

Глава 2. Всплесковое разложение
пространств сплайнов эрмитова типа
§ 1. Сплайны эрмитова типа
Рассмотрим четырёх-компонентную вектор-функцию W(x,y,ip) = det(ip(x),ip'(x),ip(y),(p'(y)) О, (А)
Пусть X — сетка вида (1.1.1). Введём обозначения G — Ujez(xj, Xj+i)i щие аппроксимационным соотношениям
12j-l СО + V]+lU2j{t)) = (1-1)

supp u>2j-l c [Xj,Xj+2], suppw2j c [xj,xj+2]. (1.2)
При фиксированном fc G Z из (1.1)-(1.2) для t G (arcfc+i) получаем
V?fcW2fc-3(0 +

Благодаря свойству (А), система (1.3) однозначно разрешима, и при t G (xk,Xk+i) из (1.3) находим
det( Х>2к-3г) — , 7/
det((p к, det{tp'k,(pk, W2fc-i(.tJ = , ,, 7 7 гi x>2k{t — -7—7—7-7 c,
det(v?3b,