Сеточные методы решения нелинейных эволюционных уравнений и неравенств с двойным вырождением

• Автор: Павлова, Мария Филипповна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 238 с.

Оглавление
Введение
1 Исследование сходимости разностных схем для нелинейного уравнения с двойным вырождением
1.1 Постановка задачи, обозначения
1.2 Вспомогательные результаты
1.3 Исследование сходимости неявной разностной схемы
1.4 Явная разностная схема
1.5 Регуляризованная разностная схема
2 Исследование вариационного неравенства с двойным вырождением
2.1 Постановка задачи
2.2 Теорема существования решения вариационного неравенства
2.3 Исследование сходимости явной разностной схемы
3 Задача о совместном движении поверхностных и подземных вод
3.1 Постановка задачи, вспомогательные результаты, обозначения
3.2 Теорема существования
3.3 Явная разностная схема
3.4 Теорема существования для вариационного неравенства теории совместного движения поверхностных и подземных вод
4 Исследование сходимости разностных схем для нестационарных задач фильтрации с разрывным законом
4.1 Постановка задачи, исследование разрешимости
4.2 Исследование неявной разностной аппроксимации вариационного неравенства
4.3 Исследование явной разностной аппроксимации вариационного неравенства
5 Исследование корректности задачи фильтрационной
консолидации при неполном насыщении
5.1 Постановка задачи
5.2 Обобщенная формулировка и теорема существования решения задачи I
5.3 О существовании обобщенного решения задачи II
Литература

Введение
В настоящее время одним из наиболее эффективных методов решения задач математической физики является конечно-разностный метод или метод сеток. В частности, он широко используется при решении эволюционных уравнений и неравенств.
Теория этого метода для линейных параболических уравнений и неравенств развита к настоящему времени достаточно полно. Различные аспекты этой теории освещены, например, в монографиях и обзорах [104], [107], [105], [24], [38], [39], [47], [91], [35].
Нелинейные параболические уравнения и неравенства также давно являются объектами изучения. Имеется ряд работ, в которых исследование разностных схем проводится при условии существования гладкого решения (см., например, [1]—[7], [17]—[21], [57], [73]—[76], [79], [86], [103], [110], [111])- Достаточно подробно изучены разностные схемы для параболических уравнений и неравенств со слабой нелинейностью, а также с монотонными пространственными операторами: [35], [92], [84], [64], [96], [27].
Особое место среди нестационарных задач занимают задачи, в которых нелинейность присутствует не только в пространственном операторе, но и в ’’параболической” части. Наличие двойной нелинейности существенно усложняет исследование. Изучению устойчивости и сходимости разностных схем для таких задач при условии, что ’’временная” нелинейность не имеет особенности, и в предположении
Для сеточных функций определим кусочно-постоянные восполнения по а: и it
U.rz(x) = {z{x'),x' £ wr, х G Hr(x')},
П= {w(t), t — кт, (к — 1 )r < t' < к:r},
П+«;(0 = {«;(#), 2 — A;r, kr < t1 < (k -f l)r},
П+w = П+Пги), njTw = П'ПгШ.
§ 1.2 Вспомогательные результаты
Лемма 1.1 .Если у>(£) _ абсолютно непрерывная возрастающая функция, то справедливо неравенство
МО - ФМ> НО-<Нч), (1.2.1)
Доказательство. Имеем
0(0 -
Ф(£) — Ф(0 = I Вычитая из первого равенства второе, получим
0(0 - 00)£ - 0(0 - ф(0) = /0(0(£ — z)dz
= / 00 + *(£ - ОХ1 - ОС - vfdz > 0 ,

так как у? возрастающая функция. Лемма доказана.