Локально-одномерные разностные схемы для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями третьего рода

• Автор: Баззаев, Александр Казбекович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 132 с.

Оглавление
Введение
1 Локально-одномерные схемы для уравнения теплопроводности с краевыми условиями третьего рода с незнакоопределенным оператором в главной части
1.1. Постановка задачи
1.2. Локально-одномерная разностная схема
1.3. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы
1.4. Устойчивость локально-одномерной схемы
1.5. Сходимость локально-одномерной схемы
2 Уравнение диффузии дробного порядка с краевыми условиями третьего рода в многомерной области
2.1. Разностные схемы для уравнения диффузии дробного порядка
с краевыми условиями третьего рода в многомерной области .
2.1.1. Постановка задачи
2.1.2. Разностная схема
2.1.3. Устойчивость разностной схемы
2.1.4. Сходимость разностной схемы
2.2. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями третьего рода
2.2.1. Локально-одномерная разностная схема
2.2.2. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы
2.2.3. Устойчивость локально-одномерной схемы
2.2.4. Равномерная сходимость локально-одномерной схемы .
3 Локально-одномерные схемы для уравнения диффузии дробного порядка с конвекцией
3.1. Уравнение диффузии дробного порядка с конвекцией
3.1.1. Постановка задачи
3.1.2. Локально-одномерная разностная схема
3.1.3. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы
3.1.4. Устойчивость локально-одномерной схемы
3.1.5. Равномерная сходимость локально-одномерной схемы .
3.2. Уравнение диффузии дробного порядка с дробной производной
в младших членах

3.2.1. Постановка задачи
3.2.2. Локально-одномерная разностная схема
3.2.3. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы
3.2.4. Устойчивость локально-одномерной схемы
3.2.5. Равномерная сходимость локально-одномерной схемы .
Локально-одномерные схемы для уравнения теплопроводности дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью
4.1. Постановка задачи
4.2. Локально-одномерная разностная схема
4.3. Погрешность аппроксимации разностной схемы
4.4. Устойчивость локально-одномерной разностной схемы
4.5. Равномерная сходимость локально-одномерной разностной схемы
Локально-одномерная схема для параболического уравнения с нелокальным условием
5.1. Постановка задачи
5.2. Локально-одномерная разностная схема
5.3. Погрешность аппроксимации разностной схемы
5.4. Устойчивость локально-одномерной разностной схемы
5.5. Равномерная сходимость локальпо-одиомерпой разностной схемы
Список литературы

Введение
В последние годы возрос интерес к исследованию дифференциальных уравнении дробного порядка, в которых неизвестная функция содержится под знаком производной дробного порядка. Это обусловлено как развитием самой теории дробного интегро-дпфферепцирования, так и приложениями таких конструкций в различных областях пауки [12], [38], [41], [51], [57], [74], [75], [78|, [80], [81], [90], [91], [92], [93], [96], [97].
Интегралы и производные нецелого порядка и дробные иитегро-дифференциальные уравнения находят множество применений в современных исследованиях в теоретической физике, механике и прикладной математике. Дробное математическое исчисление является мощным инструментом для описания физических систем, которые обладают памятью и нелокальпостыо. Многие процессы в сложных системах обладают пелокальностыо и характеризуются долгосрочно]! памятью. Дробные интегральные и дробные дифференциальные операторы позволяют описывать некоторые из этих характеристик. Использование дробного математического анализа может быть полезным для получения динамических моделей, в которых пптегро- дифференциальные операторы по времени и координатам описывают степенную долгосрочную память и пространственную пел окал ьность сложных сред и процессов [59].
Дифференциальные уравнения дробного порядка также возникают при использовании концепции фрактала в физике конденсированных сред [49]. Перенос, описываемый оператором с дробными производными на больших расстояниях от источников, приводит к иному поведению относительно малых концентраций по сравнению с классической диффузией, что заставляет пересмотреть существующие представления о безопасности, базирующиеся па представлениях об экспоненциальной скорости затухания (см. [20], [21]). Как отмечено в [42], дробное исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический! анализ в механике сплошных сред. Уравнения в дробных производных описывают эволюцию некоторой физической системы с потерями, причем показатель производной указывает на долю состояний системы, сохраняющихся за все время эволюции. Такие системы могут быть классифицированы как системы с «остаточной» памятью, занимающие промежуточное положение между системами, обладающими полной памятью, с одной стороны, и марковскими системами, с другой! |47|.
Использование дробных производных для описания и изучения физиче-

Л-аУ — {в'аУх^Ха &аУ
где коэффициенты аа — сеточные функции, которые выбираются из условий второго порядка аппроксимации на равномерной сетке. Можно использовать, например, следующую аппроксимацию коэффициентов ка(х,Ь)
йа ка(х,..., ха_1, ха — 0.5/га, ха+х,..., Жр, 4), t ^+1/2> ® 2,...,р-
К уравнению (1.7) надо присоединить граничные и начальные условия. Запишем разностный аналог для граничных условий (1.5):
-»,,¥"'ЦЦ7’ = р+оУгг“'" I1'"'х» =
Условия (1.8) имеют порядок аппроксимации 0(На). Повысим порядок аппроксимации до 0(/г2) на решениях уравнения (1.4) при каком-либо а:
ааа)^(а)ж1д) = Р~аУ{а),0? ~ ^~а + 0{ка).
а£-> = = к + к>^ + к"^ + 0(А»).
(а) ^ ^ (а) — и(а)1о,0 = и(а) + ^(а) У +
аааа)ха,0 - ^(“^(а),о + (к{а)У[а)У^ + 0{Н2а). к(а)ъ{а) = а(1“^(а)£д “ °-5Ьа{к{а)у[а)У + 0(/£) =
(лд^+а,р
= ааа)^(ай - °-5/г« ( + ^(а) “ /а ] + ’
5и(а) (92п(а) <92&(а)
Где %) = аД- ”«■>= Тьр * = Ж'к =
Итак,
“ /“) = ^-о®(1“оР_'‘-« + 0(Ло) + 0(Л»'Г)'
(1.9)
В (1.9) отбросим величины порядка малости 0(Л.2) и 0(кат), заменим г>(а.) на у, тогда (1.9) перепишется так:
Оао)£0/Р - 0.5Ла^“/р = Р-ау30+а/Р - Ц-а “ 0.5/1а/О)0, Жа = О,

_(1«) Д+а/р _ -о р+Ф
р+а/р _ а<* 2/да,0 Р-аУЬ ~ _
- 05Да + **-«,