Исследование одного класса итерационных методов третьего порядка

• Автор: Зыкова, Зоя Петровна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 110 c. : ил

Исследование сложных научно-технических проблем нередко приводит к решению различных нелинейных задач, например, к решению систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений, нелинейных интегральных, дифференциальных, интегро-диф-ференциальных уравнений и их систем. Известно, что подобные задачи можно трактовать как частный случай общих нелинейных функциональных задач в конкретных функциональных пространствах, что позволяет использовать аппарат и методы функционального анализа для изучения условий разрешимости широких классов таких задач, для создания и исследования общих методов их решения.
/-V*

Рассмотрим задачу отыскания решения X нелинейного опера-торного уравнения

®(х) = 0, (0.1)

где (Р - оператор, действующий из банахова пространства ОС в банахово пространство У . Как правило, такие уравнения сложны и не могут быть решены аналитически. Важный класс численных методов для решения уравнения (0.1) составляют итерационные алгоритмы, реализуемые на современных электронных вычислительных машинах.
В настоящее время известно значительное число итерационных методов и работ, посвящённых их исследованию. Тем не менее, весьма актуальной является задача дальнейшего изучения и систематизации уже известных алгоритмов, а также конструирования и исследования новых методов. Это связано, в частности, с широким распространением вычислительного эксперимента как метода организации теоретического исследования сложных прикладных проблем [79] , [80] , [вз] . Как подчёркивается в книге [82] А. А. Самарско-

го и Ю. П. Попова, итерационный многовариантный характер вычислительного эксперимента "вынуждает предъявлять достаточно жёсткие требования к эффективности и экономичности численных алгоритмов, к возможности их реализации за минимальное машинное время при сохранении достаточной точности". С другой стороны, многочисленные примеры, в частности [21] , [27 , [28],
[7і] , [78] , [Юб] , [Ю8], показывают, что предварительное теоретическое исследование, проведение соответствующей экспериментальной работы приводят к повышению эффективности процесса решения прикладных задач за счёт выбора наиболее быстродействующего из алгоритмов, пригодных для их решения.
Теоретическое исследование итерационных процессов необходимо включает в себя, как известно [зб] , следующие этапы:

1. установление осуществимости и сходимости алгоритма;

2. исследование быстроты сходимости;
3. эффективная оценка погрешности.
Несмотря на самостоятельное значение результатов, полученных на этих этапах, ценность каждого нового алгоритма определяется теми преимуществами, которые он предоставляет при сравнительном анализе его свойств и свойств других подобных алгоритмов. Другими словами, предлагаемый алгоритм должен показать свою конкурентоспособность с уже известными методами . в том или ином смысле. Необходимыми составными элементами сравнения алгоритмов являются опробования их на модельных примерах и прикладных задачах. Сопоставление результатов теоретических исследований и экспериментальной работы служит основой рекомендации того или иного итерационного метода для решения данного конкретного класса прикладных задач.
Классические работы Л. В. Канторовича Г32-38] и И. П.

Мысовских [59-61], посвящённые изучению обощения метода Ньютона на случай операторного уравнения (0.1), являются исходным руководством в теоретическом исследовании многих итерационных методов. Упомянутые выше результаты стали инструментом исследования и самого операторного уравнения. Теоремы о сходимости итерационного процесса второго порядка

/у* — у —■
1 'Л'гь
Хг, I )
(0.2)
называемого обычно методом Ньютона-Канторовича, представляют собой одновременно теоремы о существовании, единственности и
области расположения решения уравнения (0.1).
Теоретическое исследование алгоритма (0.2) и опыт его практического использования стимулировали конструирование новых алгоритмов. Одни из них ориентированы на такие задачи, решение которых методом Ньютона-Канторовича потребовало бы чрезмерных затрат времени или памяти электронной вычислительной машины, например [21] , {[28] , [бз] , [9б] . Другие позволили решать уравнения, для которых не удаётся найти начальное приближение, достаточно хорошее для обеспечения сходимости итерационного процесса (0.2), например [5],[п], [27], [44] , [56].
Поиски новых эффективных алгоритмов ведутся в различных направлениях. В настоящее время имеется обширная литература по
этому вопросу, укажем., например, работы 5], [31], [41], [«],[б5], [бб], [81], [91], [94[

.[»]. [15]. 112] , [116]
Одно из перспективных направлений поиска Связано с построением итерационных последовательностей более высокого, чем у метода Ньютона-Канторовича, порядка сходимости. В частности, большое внимание уделяется классу алгоритмов третьего порядка сходимости.

татов по исследованию метода Чебышева. Для удобства сравнения переформулируем соответствующие результаты из этих работ, используя единые обозначения.
то решение X уравнения (І.І.І) существует, и процесс (0.4)
■хсходится к X со скоростью третьего порядка (оценки погрешности, показывающие третий порядок сходимости, мы не приводим здесь и в других сравниваемых теоремах, поскольку сравниваются ограничения на константы, при которых данные оценки получены). Приведённая формулировка теоремы эквивалентна той, что
Теорема из ремы І.2.І. Тогда если
выполнены условия 1-4 теоимеется в работе
выглядит более естественно, так как
радиус Т. области определяется через значение оценочной константы , которая не может быть вычислена без знания радиуса % •
Наиболее точный результат среди чен в . Приведём его с некоторыми сокращениями.
Теорема ремы І.2.І, где облас
| . Пусть выполнены условия 1-4 тео-имеет радиус Д— д-ро. Тогда, если
то решение X* существует и единственно в 0о , а процесс