Исследование некоторых трехслойных полудискретных схем на основе полиномов Чебышева

• Автор: Рогава, Джемали Леонтьевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 154 c. : ил

ГЛАВА I. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА ОТ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ I. Определение и основные свойства

§ 2. Оценки для полиномов ип С=е,у)

§ 3. Оценки для полиномов ип ипн (Ъ,у)

§ 4. Трехточечное рекуррентное соотношение и связанные с ним полиномы

Глава II. ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ

§ 5. Некоторые сведения из функционального анализа

§ 6. Явные трехслойные операторно-разностные и итерационные схемы

§ 7. Априорные оценки для трехслойных схем в конечномерном гильбертовом пространстве
Глава III. УСТОЙЧИВОСТЬ И СХОДИМОСТЬ НЕКОТОРЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПОЛУДИСКРЕТНЫХ СХЕМ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧ

§ 8. Абстрактное гиперболическое уравнение

§ 9. Полное уравнение второго порядка
§ 10. Абстрактное параболическое уравнение
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Известно, что различные краевые задачи для эволюционных уравнений с частными производными могут быть сведены к задаче Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве с неограниченным оператором. Одним из методов решения этих задач является метод полудискретизации (так называют метод, основанный на дискретизации производной по временной переменной).
В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных методу полудискретизации (прямых). С обзором этих работ по состоянию на 1965 год можно ознакомиться в статье [23]. Вопросы, связанные с приближенным решением эволюционных задач, рассматриваются в учебниках и монографиях С.К.Годунова, и В.С.Рябенького 18],
O.A.Ладыженской [19], Г.И.Марчука [28], Ш.Е.Микеладзе [31], С.Г.Михлина [33], Рихтмайера и Мортона [39], В.С.Рябенького и
А.Ф.Филиппова 144], A.A.Самарского [45], Н.Н.Яненко [54],а также в трудах [6, 9, 10, 13, 18, 20, 26, 49, 50, 55-59, 73, 74], которые наиболее близки по содержанию к нашей работе.
Метод полудискретизации обладает тем преимуществом, что получаемую при этом систему можно решить, например, методом конечных разностей, осуществляя последующую дискретизацию производных по пространственным переменным, или применить другие методы (в том числе аналитические), которые реализуемы на ЭМ. Среди таких методов отметим проекционно-сеточные, вариационные и метод конечных элементов ( см. [15, 29, 33, 52]).
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию устойчивости и сходимости в гильбертовом пространстве трехслойных полудиекретных схем для эволюционных задач на основе полиномов Чебышева от двух переменных. Кроме того рассматривается применение этих полиномов для исследования трехслойных операторно-

разностных и итерационных схем.
Вопросами применения ортогональных полиномов в дискретных и непрерывных задачах занимались многие авторы (см. монографию Ф.Аткинсона [2] с обширной библиографией). В этом направлении отметим труды [ 4, 5 , 25, 27 , 34 , 38 , 64 , 71].
Недавно в русском переводе вышла книга [37] о полиномах и рядах Чебышева, где наряду с другими вопросами рассматривается применение этих полиномов в дифференциальных уравнениях.
Суть данной работы заключается в том, что исследование устойчивости трехслойных разностных схем с самосопряженными, перестановочными операторными коэффициентами сводится к оценке полиномов Чебышева от двух переменных, определяемых трехчленным рекуррентным соотношением:
4« (Х>У)
Цс=с,у) = '1, Ц(Х,у)=СС.
Как нам известно, этот факт остался незамеченным, хотя полиномы Чебышева широко применяются для ускорения сходимости итерационных процессов (см. учебники и монографии Н.С.Бахвалова [3], Г.И.Марчука и Ю.А.Кузнецова [30], A.A.Самарского и Е.С.Николае-ва [47] и работы [ 21, 61, 62, 66, 67]).
Многие работы посвящены обобщению полиномов Чебышева. Например, в [60, 68, 70, 72] рассматриваются полиномы Чебышева от двух и более переменных. Они связаны четырехчленным рекуррентным соотношением. В связи с этим их применение для исследования четырехслойных схем кажется более естественным, чем для трехслойных.
Отметим, что при дискретизации эволюционных задач по получаются полудискретные схемы с неограниченными операторными
■50m-i и
- До ( Pm-1 Д "Д Pm-a Ц, + S Pm-i-Ь Jü )"

-A, ( Pm.e u - д Pm.3 uo + g P^
+ Jm= (°* Rn-l " Дт Pm-2 ) 4 ”
A ( °^m Rn ~ A« Pm-3 ) + S ~

”AnPm-S-*u ) Ji/Jm* (4.3)
В силу формулы (4.2) имеем
otm Ргп-1 -i "An Pm-S-Ô = Rn-Ь ' (4'4)
Теперь очевидно, что из (4.3) с учетом (4.4) следует (4.1). Лемма доказана
Определим полиномы Pn (œ,tj) с помощью рекуррентного соотношения
J5^ -Où rffà
H Cœ,y)*('! +jbn)ocPnH (æ,y)-(i+2An)yrn-e (зс,у).
n = 1,2
p.C5Ü
P1 сCC,y) =0 , H (x,y) =1 ,
Jbn = (AH) n AieJ - СО, + oo [
Назовем их ультрасферическими полиномами от двух переменных, так
С л*)
как при у = 1, Рп ( осД) - классические ультрасферические полиномы, определенные на Г- 2,21 (см. [48] , стр. 93).
Г1 (Я)
Пусть теперь гп ( ос, у ) - класс полиномов, которые получаются по формуле (4.2) при следующих значениях параметров
Ол = 1+ Ап > Сп = 1 + 2Ап , Во = dn = о •