Индуцированные гомоморфизмы колец Витта квадратичных расширений

• Автор: Карунатилека, Ананда Дхарампрая Виракун
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 75 c. : ил

ВЩДЕНИЕ
Глава I. ЯДРО ИНДУЦИРОВАННОГО ГОМОМОРФИЗМА КОЛЕЦ ВИТТА. КВАДРАТИЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЯ. РАЦИОНАЛЬНЫХ
. ЧИСЕЛ
1.1. Предварительные результаты
1.2. Ядро гомоморфизма
1.3. Ядро гомоморфизма, когда с(-типа I
1.4. Ядро гомоморфизма, когда Ы-типа П
Глава 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП ВИТА ЭРМИТОВЫХ ФОРМ НАД
АЛГЕБРОЙ КВАТЕРНИОНОВ СО СТАНДАРТНОЙ. ИНВО-. .ЛЮЦИЕЙ НАД ПОЛЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ.ЧИСЕЛ
2.1. Предварительные результаты
2.2. Вычисление групп Витта , эрмитовых, форм. над
. . телом кватернионов
2.3. Вычисление групп Витта эрмитовых, форм. над. матричной алгеброй,кватернионов
2.4. Предложения
Глава 3. 0- НЕКОТОРЫХ ИЗОМОРФИЗМАХ ГРУПП ВИТТА
3.1. Изоморфизм групп Витта: эрмитовы форма над
. . кольцом матриц с инволюцией транспонирования
3.2. Инволюция в алгебре кватернионов
3.3. Изоморфизм группы Витта: эрмитовы формы над матричной алгеброй.кватернионов.с.нестандартной инволюцией
Глава 4. ОПИСАНИЕ ЯДРА ГОМОМОРФИЗМА ГРУПП ВИТТА
НАД АЛГЕБРОЙ КВАТЕРНИОНОВ, ИНДУЦИРОВАННОГО. . КВАДРАТИЧНЫМ РАСШИРЕНИЕМ ПОЛЯ

4.1. Случай тела.кватернионов.со.стандартной,
. . инволюцией
4.2. Случай матричной алгебры кватернионов
. с нестандартной инволюцией
4 3. Случай тела кватернионов с матричным
расширением.с.нестандартной.инволюцией
ЛИТЕРАТУРА

Диссертация посвящена двум задачам: первая из них относится к теории билинейных симметрических форм над полем, вторая - к теории эщитовых форм над кольцом с инволюцией. В обеих задачах определяется ядро индуцированного гомоморфизма колец (соответственно групп) Витта, а именно:
а) вычисляется ядро индуцированного гомоморфизма колец Витта квадратичных расширений поля рациональных чисел:
Л:„ Ш -~Ш(т/бГ).,
б) описывается ядро индуцированного гомоморфизма групп Витта над алгеброй кватернионов над квадратичным расширением поля К ,
/*: */НаН=(^)гЗ)-~
Кроме того, рассматриваются примыкающие вопросы о вычислении групп Витта эрмитовых форм над алгеброй кватернионов над полем рациональных чисел и изоморфизм групп Витта эрмитовых и билинейных симметрических форм.
Известно, что ядро ъ* состоит из четномерных анизотропных форм над & и совпадает с главным идеалом (<1>-<Ы>)\/(Б1 12.].
Имеется аддитивный групповой изоморфизм (см. [I] )
ж: ^/рр , который осуществляется посредством , Эр) , где £ - сигнатура (кольцевой гомоморфизм), Эр - аддитивный гомоморфизм, являющийся композицией отображения локали-. зации л/(Ир и аддитивного гомоморфизма класса, вычетов,
ассоциированного с р-адическими нормами: л/ф.р -> ^/1Рр • Этот
изоморфизм известен как слабый принцип Хассе-%нковского
С использованием этих фактов описывается ядро как. аддитивная пор,-группа в и/®.с точно указанными образующими. В зависимости от сС ,

Теперь МОЖНО определить сГ": л/Н (Л.., 5) ~~л/К? . положим Е Д6К'
Докажем, что (Г корректно определено
Пусть (У, у) - расщепляющийся модуль, т.е. сущестаует УсгУ, такой, что У=У'®у//ж У/'*‘ = У//.
Пусть
М=Апп1(У)=А^1(У'®У") = Апп1(У/) ®Апп1(Х").
Обозначил Ы=Апп(У') и опкажем, что
(I) 1/1;э№ , т.е. NN—0 , так как N а Ух »а У У-О
(П) Пусть ос £ М1 . Докажем, что осбЫ имеем:
х-у,-* ъ у у 6 N 7 ъ € М'= Аипг ГУ)
Тогда для любого Ь е N у О - Ь(х, Ь) = Ь(у+г, Ь) =-.Ь (&.,£)
согласно (I), т.е. 6(2,0 = О , УЬ € N , следовательно, £ (ъ , £ )= О 9 V Ь е N , так как
Ф , но любой Т 6 У' можно записать в виде
, £. ем,
€ гС , так как N а У' и у'я. - модуль, то
у(г, )^.Сг ,Т) = 0,
следовательно, ^ € У/Х = 'У' » т.е. 2^=67 , то что
ос сГ = I 5) И С^"0С ~ ^ следует из построения, тем самым .установлен изоморфизм, л/К - л/Н(К = Мп(1С), 5)
$ -.транспонирование, как аддитивная группа.
3.1.6. Следствие: