Стабильные элементы автоморфизмов свободной нильпотентной группы

• Автор: Ковыршина, Анна Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 113 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1 Общие понятия

1.2 Базисные коммутаторы

1.3 Автоморфизмы группы _Р3д

Глава 2. Метод нахождения стабильных элементов

2.1 Преобразование видов базисных коммутаторов

2.2 Общая схема нахождения стабильных элементов

2.2 Пример стабильного элемента

Глава 3. Нестабильные элементы группы Азд

3.1 Вспомогательная лемма
3.2 Теорема о строении нестабильных элементов .
Глава 4. Стабильные элементы группы Аздг
4.1 Вспомогательные утверждения
4.2 Основной результат
Глава 5. Стабильные элементы группы Тгдг
Заключение
Список литературы
Приложение

Введение
Диссертация посвящена вопросам существования стабильных элементов относительно всех автоморфизмов нильпотентной группы ступени 12.
Стабильные элементы свободных нильпотентных групп относительно всех автоморфизмов группы тесно связаны с инвариантами Ли свободных колец Ли. Условия существования инвариантов Ли были найдены в работах Вефера (1949 г.) [19] и Барроу (1958 г.) [14. 15] (см. также [12]), это давало основание считать, что в свободных нильпотентных группах также могут существовать нетривиальные стабильные элементы при определенных условиях на ранг и ступень нильпотентности группы. Отметим, что вопрос о существовании таких элементов в группах был поставлен А. Мясниковым в проекте MAGNUS [17] (вопрос N1):
Пусть G - свободная нилъпотентная группа конечного ранга г. Пусть элемент g € G неподвижен относительно всех автоморфизмов группы G. Верно ли, что g = 1 ?
Отрицательный ответ на этот вопрос был получен В.В. Блудовым [1] в 1998 году, который привел примеры нетривиальных стабильных элементов свободной нильпотентных групп ранга
2. Например, элемент [a,b,a,[a,b,b],[a,b]] — стабилен относительно любого автоморфизма свободной нильпотентной группы ранга два и ступени восемь.
В 2001 году независимо друг от друга А. Папистас [18] и

Е. Форманек [16], основываясь на работах [19, 14, 15], классифицировали все пары (г, с), при которых существуют нетривиальные стабильные элементы в свободных нильпотентных группах ранга г и ступени с. Доказана
Теорема ([16], Теорема 5.) Пусть И(г, с) — свободная нильпо-тентная группа ранга г и ступени с. Нетривиальные стабильные элементы группы И (г, с) существуют тогда и только тогда, когда
a) г = 2 или г = 3 и с — 2кг, к >2.
b) г > 4 и с= 2кг, к > 1.
Поэтому, для г = 3 наименьшая ступень нильпотентности, при которой существуют нетривиальные стабильные элементы равна 12. При этом конкретный вид стабильных элементов в работах [16, 18] не был указан, его нахождение представляет определенную техническую сложность. Первые примеры стабильных элементов в свободных нильпотентных группах ранга
3 получены в 2004 году и опубликованы в 2008 году в работе
соискателя [5].
В представленной работе приведены классификационные теоремы (Теоремы 3.1, 4.1, 5.1, 5.2), описывающие строение стабильных элементов. На основании этих результатов получено полное описание (в терминах базисных коммутаторов) всех стабильных элементов с однородным вхождением образующих в свободных нильпотентных группах рангов 2 и 3, ступени 12.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 10 параграфов, заключения, списка литературы и приложения.
Во введении дается обоснование актуальности темы исследо-

Глава 4. СТАБИЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
ГРУППЫ Т3,
Эта глава посвящена описанию всех нетривиальных стабильных элементов с однородным вхождением образующих группы -Гв,12- Построена подгруппа ранга 33, любой элемент которой является стабильным.
4.1 Вспомогательные утверждения
Утверждение 4.1 Пусть К = {23,24,25,34,39,40,44,45}. Тогда существуют последовательности целых чисел т^к к £
К, такие что элемент д = £ £4(т<4) является нетриви-

алъным стабильным элементом группы Гздг-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим множество Д2з- Определим все базисные коммутаторы вида (/^/^/^/^), имеющие по 4 вхождения образующих а, Ь и с, используя обозначения коммутаторов введенные в теореме 3.1.
Полагаем для Д2з:
Щ = (Й10СзС]Дх), и2 — (с?14СзС2^1, ) «з — (АбСзСз^х),
Щ = (^8СзСз^1), и5 = (сДщзЩс^), и6 = (ДхгСзСгДД
Щ = (^13сЗСз^5), «8 = (^(>СзС2С?5), Ид = (ДтЩЩЙц),
Ию — (с^сзс^ц), иц = (^мСгщДи), щг = («Дзсзсг^п),