Свойства сумм и произведений подмножеств произвольного конечного поля

• Автор: Глибичук, Алексей Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 84 с.

1 Предварительные технические результаты

1.1 Размерность подмножеств, их аддитивная структура

1.2 Множество отношений разностей

1.3 Рост подмножеств при их сложении

2 Произведения двух подмножеств конечного ПОЛЯ

2.1 Симметричный и антисимметричный случай

2.2 Общий случай

2.3 Задача Эрдеша-Грэхэма

3 Произведения многих подмножеств поля вычетов по простому модулю

3.1 Предварительные результаты

3.2 Доказательство основного результата

4 Степени больших подмножеств нолей размерности 2 и 3
4.1 Степени подмножеств поля ¥рз
4.2 Аналог леммы 4.1.3 для произвольного поля
4.3 Аналоги леммы 4.1.4 для произвольного поля
4.4 Доказательство результата для поля
5 Свойства степеней подмножеств произвольных полей
5.1 Теорема о больших подмножествах произвольного поля
5.2 Обобщение лемм 4.1.6 и 4.1.7 на случай произвольного поля
5.3 Степени подмножеств поля Ер4 и свойства больших степеней
подмножества конечного поля
5.4 Неулучшаемость степени подмножеств в теоремах 4.1.1, 4.4.1,
5.3.1 и 5.3
Литература

Список обозначений
А + В стр. 4;
А ■ В стр. 4; кА стр. 4;
Ак стр. 4;
Ь* А,ЬА стр. 4; |Л| стр. 4;
¥д стр. 4;
У* стр. 4;
стр. 4; огсіДж) стр. 4;
[у] стр. 4;
{у} стр. 4; к + А стр. 5; сІіт(Х) стр. 12; 8рап(Х)
Задачи, рассматриваемые в диссертации, относятся к бурно развивающемуся в настоящее время разделу теории чисел, называемому "Аддитивной комбинаторикой". Впечатляющие результаты, достигнутые в этой области, обусловлены разнообразием методов, используемых при изучении задач из этой области. Данная работа использует преимущественно комбинаторные методы. Результаты диссертации так или иначе связаны с аналогами проблемы Варинга и с задачами изучения роста суммы и произведения подмножеств конечных полей.
Рассмотрим некоторое непустое множество X с определенной на нем бинарной операцией * : А х В —» X. Тогда можно определить операцию * на парах подмножеств X следующей формулой: А* В — {а, *Ь : а Е А,Ь Е В}. В частности, если А и В — подмножества кольца, то можно рассмотреть две операции на подмножествах: сложение А -|- В :— {а + Ъ : а Е А, Ь Е В} и умножение АВ = А ■ В := {аЬ : а Е А, Ъ Е В}. Определим для некоторого к Е N и множества А его кратную сумму к А — А + А... + А, к- ю степень

этого подмножества Ак = Д ■ А ■ ... • Д и операцию умножения произвольного элемента кольца Ъ на подмножество Ь* А — {6} • А. Иногда, если это не приведет к путанице в обозначениях, знак * будет отпускаться.
Мы будем в дальнейшем обозначать мощность множества А следующим образом: |А|. В качестве кольца будет рассматриваться конечное поле из у — рг элементов для произвольного простого р. Оно будет обозначаться через Для некоторого множества У С определим множество его обратимых элементов У* У {0}. Ниже всегда будет предполагаться, что р — некоторое простое число. Так как произвольное конечное поле характеристики р содержит подполе, изоморфное ¥р, то мы без дополнительных оговорок будем считать, что С Рассматривая произвольный элемент х Е Т*, мы можем определить его мультипликативный порядок огс1дх как наименьшее натуральное I такое, что х1 = 1. Для любого действительного у символом [у] обозначается его целая часть, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее у, а {у} обозначает дробную часть у.
Определим также операцию сложении произвольного элемента к Е Тг?

Рассмотрим число к = [log2 (^)] + 3. Из леммы 1.3.1 мы выводим
^ ІІЛІ"-1-6.
Из леммы 1.3.4 следует- неравенство
8kNn^An~l > min I Q) kNn-XAn-p2
Если 8kNn_iAn~l — Fp2, то теорема 4.1.1 доказана. Если же
(І)3 kNn-An~l > Ап~1~є, то верно равенство 111^4| > |И.|п_г >
q. Из последнего соотношения, используя теорему 0.0.1, легко вывести равенство 80kNn-iAn — Fp2, завершающее рассмотрение этого случая.
Случай 4: Выполняются условия (4.5)-(4.7) и справедливо неравенство по < та — 1. Последнее условие означает, что |^4|”—1 > Применяя леммы
4.1.6 и 4.1.7, получим
- Мп_гАп~1 ^ А(/ _ 1);
|Nn^An~l > |1УП0ЛП0| ^ 1АМ > ^(Р2 ~ 1)ИҐ¥-Из леммы 1.3.1 выводим
|31V„_iAn_1| ^ ^(р2 - 1)|И|"і.

Согласно лемме 1.3.4, имеем
|247У„_1И"-1| ^ min | Шп..лАп^1р2
Если 24iVn_i.An_1 — Fp2, то теорема 4.1.1 доказана. Если же 24tNn-An~1 ^ (|)3|4JV„_1^4"-1| > ^(р2 - 1)И|-і, то |24iVn_1A”-1||H| >Д(р2 - 1)|И|1. Из (4.5) и (4.6) мы выводим неравенства р2 — 1 > |р2, |4|® > 2. Поэтому |24У„_іИп_1||И| > q, и из леммы 0.0.1 следует, что 240Дг„_іИ" = Fp2. Теорема
4.1.1 доказана. ■
Следствие 4.1.1 очевидным образом вытекает из теоремы 4.1.1.
Следствие 4.1.1. Для любой подгруппы по умноэюению Н С Fp2, не лежа-

щей в подполе Fp и удовлетворяющей условию Н > рдля некоторого натурального та ^ 2 та действительного є > 0, имеет место равенство NH = Fp2, где N — число, определенное в формулировке теоремы 4-1.1.