Квадратичные элементы групп Фробениуса

• Автор: Журтов, Арчил Хазешович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 115 с.

1 Квадратичные автоморфизмы абелевых групп
1.1 Группы, порожденные двумя квадратичными автоморфизмами абелевой группы
1.2 Регулярные автоморфизмы порядка 3 и
1.3 {2,3}-групппы регулярных автоморфизмов
1.4 Бинарно-свободное действие
2 Группы Фробениуса, порожденные квадратичными элементами
2.1 Основные понятия. Следствия из результатов первой главы
2.2 Конечность групп Фробениуса, порожденных двумя квадратичными элементами
2.3 Классификация групп Фробениуса, порожденных двумя элементами порядка
3 Распознавание групп Г2((/) по их спектру
Библиография

Теория абстрактных групп, т.е. групп, не наделенных изначально никакой дополнительной (геометрической, топологической, физической) структурой, зародившаяся на рубеже 19-го и 20-го веков, первое время развивалась как теория конечных групп. Усилиями нескольких математиков, среди которых несомненно нужно выделить В.Бернсайда и Г.Фробениуса, были получены основополагающие результаты теории конечных групп. Одной из самых знаменитых теорем, полученных в это время, является теорема Фробениуса [79] о группах, получивших впоследствии его имя. Вклад Бернсайда в развитие теории групп составляет не только его выдающиеся результаты, положившие начало локальному анализу конечных групп, и его замечательная книга [75], в которой подведен итог первоначального развития теории конечных групп, но и его знаменитые проблемы, во многом определившие развитие теории периодических групп.
В одной из них речь шла о гипотезе, согласно которой порядок любой конечной простой неабелевой группы четен или, другими словами, любая конечная группа нечетного порядка разрешима, в другой задавался вопрос о локальной конечности периодической группы (7, порядки элементов которой ограничены некоторым числом. Для групп, период
п которых не превосходит 3, положительный ответ был известен самому Бернсайду. В случае п = 2 группа С? абелева. При п = 3 в 1928 году Б.Л.Ван-дер-Варден и Ф.Леви [96] показали, что С? трехступенно нильпотентна. В 1942 году появилась знаменитая работа И.Санова [51], в которой доказывалась локальная конечность групп б? в случае п — 4.
Глубокая работа Ф.Холла и Г.Хигмана [87] стимулировала появление доказательства локальной конечности групп периода 6 [84], но наибольшее влияние она оказала на решение другой проблемы Бернсайда: идеи этой работы наряду с глубокими теоретико-характерными методами, связанными с конечными группами, близкими к группам Фробениу-са, привели У.Фейта и Дж.Томпсона [77] к доказательству разрешимости конечных групп нечетного порядка. Работа Томпсона и Фейта и последующие работы Томпсона о группах с разрешимыми локальными подгруппами дали старт бурному развитию теории конечных групп, которое привело к классификации конечных простых групп (см. [70], [83]).
Между тем, надежда на положительность решения проблемы Бернсайда для любого конечного периода не оправдалась: в 1968 году появилась сенсационная работа П.С.Новикова и С.И. Адяна [37] с доказательством бесконечности свободной бернсайдовой группы В{п,г) периода п с г порождающими при г > 2 и достаточно большом п. Эта работа предопределила появление неожиданных примеров групп С.И.Адяна, А.Ю.Ольшанского, Р.И.Григорчука и их учеников (см. [1]-[3], [10], [11],[36]-[42]), показавших бесконечность глубины пропасти между локально конечными группами и периодическими группами.
б? перестановочны по модулю {г) и поэтому все 2-элементы порождают группу кватернионов порядка 8.
Пусть х — элемент из С? порядка 8 и у — х1. Тогда у2 = 2. Положимте = Со(у),-Н = Л^((у})- По-лемме 6 в С существует локально циклическая нормальная силовская 2-подгруппа Со, а в N — нормальная силовская 2-подгруппа Л^о и |Л^о '• С7о| < 2, Если Лго ф Со, то N0 — обобщенная группа кватернионов (возможно, бесконечная). Если все элементы порядка 4 из б? содержатся в А7", то в случае N — С подгруппа С совпадает сб,ав случае N ф С подгруппа N0 порождается элементами порядка 4 и, следовательно, нормальна в 67. Но тогда (у) нормальна в в и N = в.
Поэтому пусть существует элемент Ь порядка 4 из 6?, который не содержится в N. Подгруппа (у, х) — обобщенная группа кватернионов и уЬ — элемент, порядок которого больше четырех. Пусть л = (уЬ)2“ — элемент порядка 8. Тогда {х, г) нормализует Н = (у, г2) и хН, гН — инволюция в (х, г) /Я. Таким образом (х, г) — конечная 2-подгруппа из С', содержащая две различные циклические подгруппы порядка 8. Это невозможно. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 6.
Если 67 конечна, то ее строение известно из классификации Цассен-хауза. Пусть 67 — бесконечна и А — подгруппа из 67, порожденная всеми элементами порядка 3. По теореме 4 А — циклическая группа или группа, изоморфная одной из групп 6X2 (3), 6X2(5). Во втором случае