Квадратичные числа Пизо и одномерные квазипериодические разбиения

• Автор: Мануйлов, Николай Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 126 с.

^ Введение
1. Ветвящийся В-процесс и разбиения
§1. В-процесс и разбиения единичного полуинтервала
§2. Цветные разбиения
§3. Разбиения Фибоначчи порядка д
§3.1. Длины полуинтервалов из разбиения Фибоначчи порядка д
§3.2. Метод подстановок
§3.3. Рекуррентные формулы для разбиений Фибоначчи

порядка д
§3.4. Количество полуинтервалов в разбиении Фибоначчи
порядка д
§4. Глобальные координаты
2. Производные и орбиты. Перенормировки
• §1. Определение производных и орбит
§2. Производные на полуинтервалах разбиений Фибоначчи порядка д
§3. Прямые перенормировки

§4. Обратные перенормировки
§5. Соотношения для целых частей числа
§6. Распределение дробных долей
3. Двухцветный сдвиг окружности
§1. Определение двухцветного сдвига
§2. Аттракторы и спирали. Динамические графы
§2.1. Определение динамических графов
§2.2. Раскраска полуинтервалов

§2.3. Динамические графы аттракторов и спиралей
§2.4. Мера аттрактора
§3. Частотное распределение точек орбит
Литература

Условные обозначения
Z - множество целых чисел;
* Ъ>о - множество неотрицательных чисел;
К. - множество действительных чисел;
N - множество натуральных чисел; тд - квадратичные числа Пизо (стр. 5);
[ж] - целая часть числа;
{х} - дробная часть числа;

ТИа(т) - обобщенное разбиение Фибоначчи (стр. 22);
Ьт(а), 5ш(о;) - полуинтервалы из разбиения ТИа(т);
£т(а), зт(а) - длины полуинтервалов из разбиения ТИа{т)
СТИа{т) - «цветное» обобщенное разбиение Фибоначчи (стр. 27);
Ст(а) , Ет(а) - полуинтервалы из разбиения СТИа(т); дт(а), ет(а) - длины полуинтервалов из разбиения СТИа{т);
0^(а) - орбиты на полуинтервалах из разбиения СТИа(т) (стр. 54, 56); <1кО^{а) - производные орбит 0^{а) (стр. 54);
^ Я^(а,г) - прямые перенормировки орбит 0^{а) (стр. 65);
Я^т(а,г) - обратные перенормировки орбит О*(а) (стр. 76);
- двухцветный сдвиг окружности (стр. 91);
АЫ£ , Брггс - аттрактор и спираль двухцветного сдвига (стр. 94); Вт(Аие), Вт{3ргге) - динамические графы аттрактора и спирали двухцветного сдвига (стр. 93, 98);

ях СТИа(т) и Та(т), идентичность процессов измельчения (или подстановок), равенство длин полуинтервалов в разбиениях. Первое условие выполнено. Сравнивая (1.15), (1.16), (1-82), (1.83), получим, что подстановки для СТИа(т) и Та(т), без учета нижних индексов, одинаковы. Докажем равенство длин полуинтервалов.
Согласно (1.79), все одноименные полуинтервалы объединения Та(т) имеют равные длины. Вычисляя |(7(а)|, Е(а), получим
|С?(а)| = {$Ст(а)а} - {(#С"*(а) - «Я7»«)}, Е^{а) = 1 - {ЦСт(а)а}. * (1.86) Вернемся к неравенствам (1.19), (1.21):
{«Ст(а)а} > {#Сп“1(а)а}, если #Ст(а) > Й£т(а),
1 < {ЙСт-х(а)а} + {Й^-^а)«} < 2, если $Ет{а) > №т{а).
Приведенные неравенства соответствуют вариантам выполнения подстановок (1.82) или (1.83) полуинтервалов из Та(т). Используя (1.18), заменив в нем т нат-1, перепишем первое неравенство в виде
• {Ст(«М > ШСт(а) - $Ет(а))а}, если №т(а) > ЦЕт(а).
Второе неравенство, когда §Ет(а) > Й^т(а), также преобразуется в {§Ст(а)а} > {(ЦСт(а) — §Ет(а))а}. Видим, что неравенство {ЙСт(а)а} > ЩСт(а) — $.Ет(а:))а:} всегда выполнимо. При этом справедливо равенство
. №т{а)а) - {{№т{а) - %Ет(а))а}
- {(ЙСт(а) - №т{а) + ЙДт(а)а)} = (Й£т(а)}.
Таким образом, формулы (1.86) перепишутся в виде
|С?£*| = №т{а)а), Е? = 1 - {$Ст(а)а},