Асимптотическая формула в кубической задаче Эстермана с почти равными слагаемыми

• Автор: Фозилова, Давлатбахт Миралибековна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 63 с.

Оглавление
Обозначения
Введение

1 Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля

1.1 Формулировка результатов

1.2 Вспомогательные утверждения

1.3 Оценка коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля, если величина ЗХх2 очень близка к целому числу
1.4 Оценка коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля, если величина ЗАт2 не очень близка к целому числу
1.5 Оценки коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля, у которых старший коэффициент не очень “близок” к рациональному числу

2 Асимтотическая формула в кубической проблеме Эстермана

с почти равными слагаемыми

2.1 Формулировка результатов
2.2 Вспомогательные утверждения
2.3 Доказательство теоремы
Литература

Обозначения
е(а) = е2та = cos 27га + і sin 27га.
При ссылках теоремы, леммы и формулы нумеруются тремя индексами: номер главы, номер параграфа, номер утверждения, с, Ci, С2, ,-положительные постоянные, не всегда одни и те же. є -її о л ож и т ел ь н ы е сколь угодно малые постоянные.
L = ln N - натуральный логарифм N.
tp{q) - функция Эйлера.
т(п) - число делителей числа п.
Г(п) - гамма функция Эйлера.
[ж] - целая часть числа х.
{:х} - дробная часть числа х.
||ж|| = min (м.1 - м) - расстояние до ближайшего целого числа.
(а, Ь) - наибольший общий делитель чисел а и Ь.
Запись А « В или А = О (В) означает, что существует с > 0 такое, что А < сВ.
Л(п) - функция Монгольдта.

Введение
Настоящая диссертация посвящена задачам аналитической теории чисел. Основным предметом исследования является изучение поведения коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля и вывод асимптотической формулы в тернарной задаче Эстермана о представлении достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простых и куба натурального числа, при условии, что они почти равны.
Впервые тригонометрические суммы стал рассматривать К.Ф.Гаусс. В частности, он исчерпывающим образом исследовал важнейшие свойства, носящей его имя “суммы Гаусса
Он показал пользу тригонометрических сумм как средства решения задач теории чисел. В частности, используя свойства суммы Гаусса, он построил одно из своих доказательств закона взаимности квадратичных вычетов.
В дальнейшем тригонометрические суммы стали мощным средством решения ряда важных вопросов теории чисел. При этом основной в отношении таких сумм стала проблема разыскания их возможно более точной оценки, то есть возможно более точной верхней границы их модуля.
Сумма Гаусса является частным случаем более общей рациональной полной тригонометрической суммы:
где / = f(t) = antn + ... + ait - многочлен степени п > 1с условием

(a, q) = 1.

на интервале (х — у, х] не меняют знака, но один из них может быть очень близок к нулю:
/о(х,с) = {ЗАж2}-£ < 0, /о(ж-г/,с-1) = {ЗАж2}-£--ц > 0. (1.4.24)
Решая эти неравенства относительно с, найдем
{ЗАж2}д < с < {ЗАж2}д + 1 — уд,
а это равносильно тому, что интервал [{ЗАж2}д, {ЗАж2}д + 1 — щ), длина которого равна 1 — уд, 1 — уд > 0,5, содержит целое число с из [1, д — 1]. Пользуясь свойством числа с, т. е. соотношением (1.4.24) соответственно для нижней границы у > 1, и верхней границы ис+, j > 1, находим
оценки
/о(х-у,с- 1 -.?') = {ЗАж2} -
Я Я / Я
/о(ж,С + у) = {ЗАж2} - = ({ЗАж2} - _ 2 < _£.
я я) я я
Таким образом, для /(((л, 6), при 6 с — 1, е получаем оценку
|/о(п,6)| > -——- при 6 < с — 1;

|/о(гл, Ь)| > —— при 6 > с.
В этих случаях, оценивая интеграл /(0,6), пользуясь леммой 1.3, найдем
/(0,6) < -, 6 < с — 1,

/(0,6) 6 > с.

Воспользовавшись леммой 1.5, как в предыдущем случае оценим интегралы /(с — 1) и /(с). Имеем